Módulo II - Capítulo V
Aprendendo



Curvas no Plano e Parametrizações



Em capítulos anteriores, vimos que o gráfico de uma equação envolvendo duas variáveis (x,y) é uma curva no plano. É possível entretanto, adotar um ponto de vista dinâmico, e pensar em qualquer curva do plano (ou do espaço) como a trajetória de um ponto móvel.

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Imagine, agora, que uma partícula se move ao longo de uma curva C. Para visualizar esta afirmação, no quadro ao lado, faça o ponto P se deslocar sobre a curva C. Para isso, pressione as setinhas do campo "Mover".



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Como podemos constatar, a curva C não é o gráfico de uma função do tipo y = f(x). De fato, retas verticais cortam esta curva em mais de um ponto. Logo, é impossível descrever a curva C por meio de uma equação do tipo y = f(x). Mas as coordenadas x e y da partícula são funções do tempo e, assim, a partícula pode ter a sua posição determinada em cada instante de tempo t por duas funções da forma x = f(t) e y = g(t), chamadas funções coordenadas. Cada valor de t, determina um ponto (x,y) que podemos marcar em um plano coordenado. Quando t varia, o ponto (x,y) = (f(t), g(t)) varia também e traça a curva C.



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Assim, em cada instante de tempo t, podemos determinar a posição da partícula P, por meio de um par de equações do tipo x = f(t) e y = g(t). Esta é uma forma muito conveniente de se descrever a curva-trajetória da partícula pois para cada instante de tempo t considerado, temos as respectivas coordenadas x e y, que descrevem a posição do ponto P, perfeitamente determinadas. O vetor [Maple OLE 2.0 Object] (t) = OP, de extremidade inicial na origem e extremidade final no ponto P, "aponta" a posição da partícula em cada instante de tempo t e, por isso, é chamado vetor posição do ponto P.

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As equações x = f(t) e y = g(t), que determinam, em cada instante de tempo t, a posição do ponto P ao se deslocar sobre a curva C, são ditas equações paramétricas e determinam uma parametrização da curva C. A variável t é chamada parâmetro.

Exemplo

Esboce e identifique a curva definida pelas equações paramétricas [Maple Math] e [Maple Math] .

Solução

Para cada valor de t, obtemos um ponto (x,y) = (f(t), g(t)) que pertence à curva que queremos traçar. Por exemplo, se t = 0, então x = 0 e y = 1 e, assim determinamos o ponto (0,1) que pertence à curva. Para traçar o gráfico da curva, precisamos marcar no plano cartesiano vários pontos (x,y) determinados por diversos valores do parâmetro e uni-los de modo a obter a curva em questão.

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Complete a tabela para os valores de t assinalados e, a partir dos pontos obtidos, esboce a curva determinada pelas equações [Maple Math] e [Maple Math] .



     

[Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]
[Maple Math]
[Maple Math]
[Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]
[Maple Math]
[Maple Math]
[Maple Math]
[Maple Math]



Se você completou corretamente a tabela e procedeu como indicado para traçar a curva, obteve um gráfico como mostrado na figura ao lado. Uma partícula cuja posição é dada por equações paramétricas se move ao longo da curva na direção do crescimento do parâmetro t, como é indicado pelas setas. Note que os pontos consecutivos marcados na curva aparecem em intervalos de tempo iguais, como definimos na tabela, mas não a distâncias iguais. Isso ocorre porque a partícula desacelera e então acelera quando t aumenta.

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[Maple Plot]

A partir do gráfivo obtido, parece que a curva traçada é uma parábola.

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    Eliminando o parâmetro t da equação paramétrica dada, obtenha a equação cartesiana da curva e, desse modo, comprove que a curva em questão é realmente uma parábola.

Resposta



Domínio e Imagem



Se nenhuma restrição for colocada no parâmetro t, consideramos que t pode ser qualquer número real, neste caso o domínio das equações paramétricas é Â. Algumas vezes restringimos t a um intervalo. Por exemplo, a curva [Maple Math] e [Maple Math] para 0 £ t £ 4, mostrada na figura é a parte da parábola no exemplo 1 que começa no ponto (0,1) e termina no ponto (8,5). A seta indica a direção na qual a curva é percorrida quando t aumenta de 0 até 4. Neste caso, o domínio das equações paramétricas é o intervalo [0,4] e sua imagem o conjunto { (x, y) Î Â; 0 £ x £ 8 e 1 £ y £ 5}. Em geral, a curva com equações paramétricas x = f(t) e y = g(t) para a £ t £ b tem ponto inicial (f(a), g(a)) e ponto final (f(b), g(b)).

[Maple Plot]

Resumindo

De um modo geral, se uma partícula se desloca sobre uma curva C do plano de um ponto [Maple Math] até um ponto [Maple Math] , pode ter sua posição determinada em cada instante t por duas funções do tempo x(t) e y(t) ditas funções paramétricas ou funções coordenadas. A função que a cada t associa o vetor posição (t) = x(t) i + y(t) j = < x(t), y(t) > é denominada uma parametrização da curva C.

Em casos mais gerais, o parâmetro t não representa, necessariamente, o tempo e, de fato, poderíamos usar qualquer outra letra para representá-lo. Mas, em muitas aplicações físicas envolvendo curvas parametrizadas, o parâmetro denota o tempo e, portanto, podemos interpretar o ponto (x, y) = (f(t), g(t)) como a posição da partícula no tempo t.

Note também que curvas com equações da forma [Maple Math] , com as quais estamos mais familiarizados pois são gráficos de funções, podem ser parametrizadas de maneira bem simples e natural, tomando-se x como parâmetro da seguinte forma: x = t e y = f(t).



O movimento retilíneo



Usando nossos novos conhecimentos a respeito de parametrizações de curvas planas, vamos estudar um pouco mais o movimento retilíneo. Considere uma partícula que se move em linha reta no plano partindo de um ponto A, com velocidade constante [Maple OLE 2.0 Object] .

Para descrever o movimento desta partícula especificando sua posição em cada instante, necessitamos de um sistema de coordenadas. A expressão matemática da trajetória está intimamente relacionada à escolha do sistema: uma "boa" escolha nos fornecerá uma expressão mais simples. As figuras a seguir são exemplos de possíveis escolhas para um sistema de coordenadas que se aplica a este problema.

Figura 1

[Maple Plot]

Figura 2

[Maple Plot]

Figura 3

[Maple Plot]

Qualquer que seja o sistema de coordenadas escolhido, denotando por [Maple OLE 2.0 Object] (t) a posição da partícula no instante t e por s o espaço percorrido, teremos:

[Maple OLE 2.0 Object] = [Maple Math]

De modo que [Maple OLE 2.0 Object] (t) = [Maple OLE 2.0 Object] (0) + t [Maple OLE 2.0 Object] .

Se escolhermos um sistema de coordenadas como o da Figura 1, teremos:

[Maple OLE 2.0 Object] (0) = xo i + 0 j = < xo, 0 > , onde (xo, 0) são as coordenadas do ponto A.

[Maple OLE 2.0 Object] = a i + 0 j = < a, 0 > , onde a é uma constante igual ao módulo do vetor velocidade.

Dessa maneira, [Maple OLE 2.0 Object] (t) = [Maple OLE 2.0 Object](0) + t [Maple OLE 2.0 Object] = < xo, 0 > + t < a , 0 > = <xo, 0 > + < ta , 0 > = < xo + ta, 0 >. Daí, decompondo a equação anterior em coordenadas obtemos: x (t) = xo + at e y (t) = 0.

Figura 1

[Maple Plot]



Figura 2

[Maple Plot]

Por outro lado, se escolhermos um sistema de coordenadas como o da Figura 2, teremos:

[Maple OLE 2.0 Object] (0) = 0 i + 0 j > = < 0,0 >

[Maple OLE 2.0 Object] = a i + b j = < a , b > , onde a e b são as coordenadas constantes do vetor velocidade nesse sistema.

Dessa maneira, [Maple OLE 2.0 Object] (t) = t [Maple OLE 2.0 Object] = t < a , b > = < ta , tb >. Daí, decompondo a equação anterior em coordenadas obtemos: x (t) = at e y (t) = bt .



No caso mais geral, o da Figura 3, teremos:

[Maple OLE 2.0 Object] (0) = [Maple Math] i + [Maple Math] j = < [Maple Math] >

[Maple OLE 2.0 Object] = a i + b j = <. a , b > , onde a e b são as coordenadas constantes do vetor velocidade nesse sistema.

Portanto,

[Maple OLE 2.0 Object] (t) = [Maple OLE 2.0 Object] (0) + t [Maple OLE 2.0 Object] = < [Maple Math] > + t < a , b > = < [Maple Math] >.

Mais uma vez, decompondo a equação anterior em coordenadas obtemos: [Maple Math] e [Maple Math] que são as equações paramétricas de uma partícula que se desloca, no plano, em linha reta, partindo de um ponto [Maple Math] , com velocidade constante [Maple OLE 2.0 Object] = < a , b > .

Figura 3

[Maple Plot]

É importante notar que duas partículas podem percorrer a mesma curva mas com movimentos diferentes, de modo que uma dada curva pode ter várias parametrizações, cada uma delas representando um determinado movimento. Por exemplo, os pares de equações x(t) = t; y(t) = 1 + t e x(t) = 2t ; y(t) = 1 + 2t são parametrizações da mesma reta y = 1 + x, mas descrevem movimentos diferentes. Você é capaz de explicar por quê? (Clique aqui para ajuda).

Além disso não devemos confundir gráfico de uma função com trajetória de uma partícula, mesmo que as figuras sejam idênticas. Por exemplo, [Maple OLE 2.0 Object] (t) = (t, 1 + t) é uma parametrização da reta y = x + 1, cujo gráfico mostramos ao lado.

[Maple Plot]

As funções coordenadas que determinam a posição da partícula que percorre esta reta são x(t) = t e y(t) = 1 + t, cujos gráficos são mostrados a seguir.

[Maple Plot]

[Maple Plot]



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