Composição de funções


Já vimos que uma função real é uma espécie de máquina que transforma os valores de entrada, segundo uma regra determinada, obtendo um novo valor no final do processo, chamado imagem do primeiro. Em muitos casos, sobre um número x atua primeiro uma função f e, depois, sobre a imagem assim obtida, torna a atuar uma outra função g. Por exemplo, se f(x) = x2 e g(x) = 2x +1, para calcularmos a imagem do número 2, quando aplicamos primeiro a função f e depois g, sobre a imagem obtida, devemos, primeiro, calcular f(2) = 4 e, a seguir, g(f(2)) = g(4) = 9. Em resumo, começamos o processo com o número 2 como valor de entrada e obtivemos o número 9 ao seu final. Dessa maneira, aplicando primeiro a função f a um determinado valor de seu domínio e depois outra função g, à imagem assim obtida, definimos uma nova função gof , chamada composta de g com f, que se define como

gof = g(f(x)).

Assim, no exemplo anterior, temos gof(2) = g(f(2)) = g(4) = 9 e, em geral, para qualquer número x no domínio de f, teríamos

gof(x) = g(f(x)) = g(x2) = 2x2 +1,

que é a expressão analítica da função gof, composta de g com f, neste caso. A cena abaixo ilustra, passo a passo, o método gráfico para a composição dessas duas funções. No primeiro quadro, traçamos o gráfico de f(x) = x2. Pressionando as setinhas do campo correspondente, altere o valor de x e observe os valores, gráficos e analíticos, correspondentes a f(x). Agora, alterando o valor do parâmetro "Passo" conforme indicado abaixo, você pode observar as etapas que ilustram a idéia de composição.

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Passo 1: Traçamos o gráfico da função g(x) = 2x + 1. Uma vez obtido o valor de f(x), precisamos calcular g(f(x)), para cada valor de x fixado. Para isso, precisamos encontrar o valor correspondente à f(x), no eixo das abscissas o que é feito nos passos 2 e 3.
Passo 2: Traçamos o gráfico da função y = x. Para que precisamos deste gráfico?
Passo 3: Usando o gráfico de y = x, obtemos, no eixo das abscissas, o valor correspondente à f(x). Como isso é possível?
Passo 4: Usando o gráfico de g, calculamos o valor dessa função aplicada ao ponto f(x), isto é, calculamos g(f(x)).
Passo 5: Marcamos o ponto (x, g(f(x)) que pertence ao gráfico de gof.
Passo 6: Traçamos o gráfico de gof. Para isso, faça o ponto x percorrer o eixo das abscissas, alterando as setinhas do campo correspondente. O ponto (x, g(f(x)), construído nos passos anteriores, traçará o gráfico da composta. Este gráfico concorda com o resultado obtido algebricamente?