Módulo II - Capítulo IV
Aprendendo



Movimento Retilíneo Uniforme e Equações Paramétricas



A trajetória de um objeto móvel (um automóvel viajando numa estrada, um projétil lançado por um canhão, um satélite em órbita terrestre) descreve uma curva no plano que pode ser representada por uma equação cartesiana, isto é, uma equação envolvendo as variáveis x e y . No entanto, uma equação deste tipo sozinha, não basta para descrever completamente o movimento do objeto: ela não fornece a velocidade desenvolvida pelo automóvel durante o trajeto ou o instante em que o satélite passa sobre um determinado ponto do seu percurso. O problema descrito a seguir tem como objetivo mostrar como um tipo especial de equações pode ser usado para obter informações que relacionam o tempo transcorrido e a posição de um objeto móvel.

Motivação

Marcos trabalha no Aeroporto Internacional do Rio de Janeiro. Sua função é controlar o tráfico aéreo na região próxima ao aeroporto onde, devido ao grande número de decolagens e aterrisagens, o risco de colisão é muito maior. Durante um único turno de trabalho, Marcos deve analisar centenas de trajetórias percorridas pelos aeroplanos que aparecem na tela do radar, à sua frente. Se os cursos de dois aviões se aproximam perigosamente, Marcos deve avisar a um deles para alterar a sua rota. Para desempenhar sua tarefa com sucesso, Marcos necessita conhecer com precisão, a rota percorrida por cada aeroplano e o instante em que os aviões passam por cada ponto deste percurso.

A tela do radar com que Marcos trabalha monitora uma área de 3600 [Maple Math] ao redor do aeroporto e mostra uma espécie de mapa cartesiano da região: a imagem que aparece na tela é uma janela de [-30,30] por [-30,30] com a torre de controle na origem, conforme mostra o esquema ao lado.

[Maple Plot]

Para simplificar o problema, vamos considerar que cada avião viaja em linha reta com velocidade constante. (Na realidade, Marcos deve lidar com mudanças quer na direção seguida pelos aviões, quer na velocidade desenvolvida.) A tabela abaixo mostra as coordenadas (posição) de três aviões no momento em que começa o monitoramento, isto é, no momento em que a imagem aparece na tela (t = 0) e um minuto mais tarde (t = 1).


[Maple Math] [Maple Math]
[Maple Math]

(-12,-30)

(-7,-22)

[Maple Math]

(-9,30)

(-6,21)

[Maple Math]

(30,-8)

(15,-24)

Os exercícios a seguir tem como objetivo ajudá-lo a analisar e explorar os dados fornecidos nesta tabela.

Agora é com você!


    (a) Deduza a equação cartesiana que descreve a rota seguida pelo avião A.

    (b) Em algum instante do percurso, o avião A passa diretamente sobre a torre de controle? Justifique a sua resposta por meio de um cálculo.

    (c) Quais são as coordenadas do avião A quando a sua imagem desaparece da tela do radar?

    (d) Para Marcos, é muito importante saber a posição do avião, em cada instante. Usando a equação que você deduziu no item (a), é possível saber a posição (coordenadas) do avião A, 3 minutos após o início do monitoramento? É possível saber quanto tempo leva para a imagem deste avião desaparecer da tela do radar?

    (e) A tabela ao lado mostra as coordenadas x e y do avião A, em cada instante de tempo indicado. Sabendo que o avião se desloca com velocidade constante, complete esta tabela.

    [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]
    [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]
    [Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]
    [Maple Math] .... .....
    [Maple Math] .... ....
    [Maple Math] .... ....
    [Maple Math] .... ....

    (f) Use a tabela obtida no item anterior, para expressar a coordenada x do avião como uma função afim do tempo.

    (g) Use a tabela obtida no item anterior, para expressar a coordenada y do avião como uma função afim do tempo.

    (h) Use as equações obtidas nos dois itens anteriores para achar a posição (coordenadas) do avião, decorridos 3 minutos após o início do monitoramento.

    (i) Quanto tempo leva para que a imagem deste avião desapareça da tela do radar?

    (j) Repita a análise feita acima para os outros dois aviões e decida se é necessário que algum deles altere a sua rota.

    Respostas.



Pela análise feita acima, podemos concluir que a rota de um dos aviões deverá ser alterada se as retas que descrevem o movimento de cada um deles se cruzarem num mesmo instante , durante o trajeto. As equações cartesianas das retas que descrevem a trajetória dos aviões B e C são, respectivamente, [Maple Math] e [Maple Math] . Veja os gráficos destas equações traçados no plano cartesiano.

[Maple Plot]

Apesar da reta que representa o curso seguido pelo avião A cruzar as outras duas, não é possível deduzir, a partir das equações cartesianas deste movimento, se os aviões colidirão ou não. Para obter esta informação é necessário também conhecer em que instante cada avião passa pelo ponto de interseção das duas rotas. A interseção das rotas seguidas pelos aviões A e B se dá no ponto de coordenadas ( 3,-6). Para chegar a esta conclusão basta resolver o sistema [Maple Math] e [Maple Math] . Para decidir se o avião B precisa alterar o seu curso, é necessário saber em que instante os dois aviões estarão sobrevoando este ponto. Para o avião A, isto se dará 3 minutos após o início do monitoramento; para o avião B, 4 minutos após o início do monitoramento, quando o avião A já estará sobrevoando o ponto (8,2). Portanto, neste caso, não há risco de colisão.

Agora é com você!


Examine o movimento dos aviões na tela do radar.

[Maple Plot]

Clique na figura para simular a tela do radar.

As equações x = -12 + 5t e y = -30 + 8t , obtidas no exercício anterior, são exemplos de equações paramétricas. Falando informalmente, um conjunto de equações paramétricas no plano é um par de funções da forma x = f( t ) e y = g( t ) e seu gráfico é uma curva no plano, isto é, o seu gráfico consiste de todos os pontos do plano cujas coordenadas são dadas por ( x , y ) = (f( t ),g( t )). A variável t é chamada de parâmetro. Na maior parte dos problemas práticos, t representa o tempo. Neste caso, as equações paramétricas descrevem a trajetória de um objeto que se move em um plano, fornecendo, em cada instante de tempo t, as coordenadas ( x , y ) deste objeto.

O domínio de um conjunto de funções paramétricas é constituído pelos valores do parâmetro t, que pertencem ao intervalo durante o qual o movimento se processa e a sua imagem (os valores correspondentes de x e y ) é um subconjunto do plano cartesiano.

No exemplo estudado no exercício anterior, o domínio das equações paramétricas x = -12 + 5t e y = -30 + 8t , deduzidas nos itens (f) e (g), pode ser entendido como o intervalo [0; 7,5], isto é, os valores de t compreendidos entre 0 e 7,5 minutos. Este domínio representa o intervalo de tempo desde que se começa a monitorar o movimento dos aviões até o instante em que a imagem sai da tela. A imagem é definida pelos valores de x e y tais que -12 £ x £ 25,5 e -30 £ y £ 30 e corresponde a um retângulo no plano definido por [-12; 25,5] X [-30,30]. O gráfico destas equações, isto é, a trajetória seguida pelo avião enquanto monitorado, é um segmento de reta.

Quando descrevemos um movimento por meio de equações paramétricas, expressamos x e y como funções de t. Assim, t é a variável independente de ambas as funções. Consequentemente, a frase "domínio das funções paramétricas" se refere a valores de t e "imagem das funções paramétricas" se refere a valores de x e y. Ao considerarmos a equação em x e y correspondente a este movimento, a variável independente passa a ser x e a imagem os valores correspondentes de y . Esta situação é resumida no quadro abaixo.

Modelo

Função(ções)

Domínio

Imagem

Paramétrico

x = -12 + 5t

y = -30 + 8t

0 £ t £ 7,5

-12 £ x £ 25,5

-30 £ y £ 30

Cartesiano

[Maple Math]

-12 £ x £ 25,5

-30 £ y £ 30

As equações cartesianas e as equações paramétricas deduzidas no exercício anterior funcionam, ambas, como modelos analíticos (algébricos) para a trajetória dos aviões e apresentam vantagens e desvantagens, dependendo da informação que queremos obter. É útil e importante saber deduzir os dois tipos de equações a partir de uma situação problema e obter uma a partir da outra. As equações paramétricas envolvem uma variável extra, em geral o tempo, e à primeira vista, por envolver mais do que uma equação, parecem ser mais complicadas do que a (única) equação cartesiana para descrever o movimento em questão. No entanto, como já vimos, equações paramétricas permitem relacionar a posição do objeto com tempo transcorrido, o que a equação cartesiana não permite. Além disso, eliminando o parâmetro, a partir das equações paramétricas, podemos reconstruir o modelo cartesiano, e assim obter todas as informações fornecidas somente pela equação cartesiana, como por exemplo, a declividade da trajetória seguida. O exemplo a seguir mostra como isto pode ser feito.

Exemplo 1: Eliminando o parâmetro

As equações paramétricas que descrevem a trajetória seguida pelo avião A no problema estudado, são dadas por x = -12 + 5t e y = -30 + 8t. Para, a partir destas equações, obter a equação cartesiana deste movimento, basta resolvermos a primeira destas equações para t e, a seguir, substituir o resultado obtido na segunda equação, como fazemos a seguir.

Da primeira equação obtemos [Maple Math] . Substituindo este resultado na segunda equação temos [Maple Math] que é a equação cartesiana obtida no item (a) do exemplo estudado. Este fato vem comprovar que os dois modelos, de fato, descrevem a mesma trajetória.

Agora é com você!


    1- Para cada domínio especificado, esboce o gráfico da curva plana determinada pelo par de equações paramétricas [Maple Math] e [Maple Math] .

    (a) -3 £ t £ 1

    (b) -2 £ t £ 3

    (c) -3 £ t £ 3

    Respostas




Os exercícios anteriores mostram que o gráfico de um par de equações paramétricas pode não ser o gráfico de uma função da forma y = f(x). Por exemplo, o gráfico da figura ao lado representa o par de equações paramétricas definido no exercício 1 com o domínio especificado no item (a). Podemos concluir, facilmente, que existem retas verticais que interceptam este gráfico em dois pontos. Isto implica que existem dois valores de y associados a um único valor de x, o que mostra que o gráfico não pode representar uma função da forma y = f(x).

[Maple Plot]

Por outro lado, qualquer função da forma y = f(x) pode ser representada pelo par de equações paramétricas [Maple Math] e [Maple Math] , para t variando no domínio de f.

Agora é com você!


    (a) Escreva um par de equações paramétricas que represente a função [Maple Math] , para -2 £ x £ 2.
    Respostas


O exemplo do item (b) do grupo anterior de exercícios descreve um tipo de movimento que, em Física, é chamado movimento uniformemente acelerado. Neste tipo de movimento, o objeto se desloca em linha reta estando sujeito a uma aceleração constante. Neste caso, a velocidade do móvel é uma função afim do tempo. No item (b) do exercício acima, o móvel está sujeito a aceleração da gravidade que é aproximadamente igual a 10 m/ [Maple Math] e sua velocidade é determinada pela lei [Maple Math] .

No restante desta seção, estudaremos movimentos retilíneos uniformes, isto é, estudaremos o movimento de objetos que se deslocam em linha reta com velocidade constante.



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