Módulo I - Capítulo I
Aprendendo


O Conjunto dos Números Irracionais

Parece que desta maneira resolvemos todos os nossos problemas de medição. Doce engano! Existem alguns números reais, tais como [Maple Math] e [Maple Math] , que não podem ser expressos como a razão entre inteiros . Isto quer dizer que em Q não podemos medir a diagonal de um quadrado de lado 1 ou a área de um círculo de raio 1, ou seja , as medidas dessa diagonal ou dessa área não podem ser expressas por um número racional. Este fato já tinha sido percebido pelos gregos na época de Pitágoras. Por esta razão estes números são chamados de irracionais. Podemos mostrar, com vários graus de dificuldade, que os números [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , são todos irracionais.

Todo número real tem (pelo menos) uma representação decimal infinita. Se o número é racional e portanto, é a razão entre dois inteiros, efetuando-se a divisão, duas coisas podem acontecer: ou a divisão é exata ou a divisão dá origem a uma dízima periódica.

Por exemplo, 2 = 2.0 , [Maple Math] = 0.5 , [Maple Math] = 0.6666... , [Maple Math] = 0.3171717... , [Maple Math] = 1.285714285714...

Quando a divisão é exata, existem duas representações decimais infinitas para o mesmo número. Assim,

2 = 2.0    ou    2 = 2.0000....    ou    2 = 1. 99999....

[Maple Math] = 0.5    ou    [Maple Math] = 0.50000.....    ou    [Maple Math] = 0.49999.....

Tanto neste caso, como no caso das dízimas, que só possuem uma representação decimal infinita, a parte decimal é repetida a partir de um certo ponto. (Daí o nome dízima periódica.)

Se o número é irracional a parte decimal não segue nenhum padrão, isto é não se repete nunca. Com o auxílio de um computador, podemos calcular a representação decimal de [Maple Math] e de [Maple Math] com muitas casas decimais para nos convencer deste fato.

Agora é com você!



Use as cenas abaixo para calcular aproximações para alguns irracionais. Você pode escolher o número de casas decimais e, no caso da raiz quadrada, alterar o valor do radicando. Para isso, use as setinhas correspondentes aos respectivos campos ou digite o valor desejado diretamente no campo e tecle "enter".

Com um programa de computador um pouco mais sofisticado, é possível obter aproximações para estes números com um número muito maior de casas decimais. Abaixo, calculamos aproximações para o número [Maple Math] com 9, 49 e 199 casas decimais, respectivamente.

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]
[Maple Math]
[Maple Math]

Embora estes números sejam convincentes eles não bastam como uma prova matemática. A demonstração que [Maple Math] é irracional é fácil e pode ser encontrada em Prova por Contradição. Já a prova de que [Maple Math] é irracional é muito difícil e foge ao objetivo deste curso.

Os valores acima, obtidos truncando-se a representação decimal de [Maple Math] num determinado ponto, são aproximações racionais para este número. Neste sentido, todo número irracional pode ser aproximado por um número racional e a aproximação será tanto melhor quanto mais casas decimais forem consideradas. Esta propriedade às vezes é expressa dizendo-se que o conjunto dos números racionais é denso no conjunto dos irracionais, isto é, qualquer que seja o número irracional k , existe uma sequência de números racionais [Maple Math] , ..., [Maple Math] , ... tal que, à medida em que n cresce, o erro que cometemos ao aproximarmos k por [Maple Math] é cada vez menor. Por exemplo, os termos da seqüência de racionais 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ... , se aproximam cada cada vez mais do número [Maple Math] , à medida em que consideramos mais e mais termos na seqüência.

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