Módulo I - Capítulo I - Aprendendo


Os Números que Governam o Mundo

Os números representam um papel vital não só na matemática, como na ciência de um modo geral e na nossa vida diária. Vivemos cercados de números; horários, tabelas, gráficos, preços, juros, impostos, velocidades, distâncias, temperaturas, resultados de jogos, etc...

A maior parte das quantidades que estudaremos neste curso (áreas, volumes, taxas de variação, velocidades...) são medidas por meio de números reais e nesse sentido podemos dizer que o Cálculo se baseia no sistema dos números reais.

Um real é qualquer número que pode ser representado na forma decimal. O conjunto de todos os números reais é denotado pelo símbolo R .

O conjunto dos números reais contém alguns subconjuntos de fundamental importância, que foram surgindo a partir das necessidades do homem de resolver problemas práticos. Assim, o conjunto dos números naturais {0,1,2,3,...}, representado pelo símbolo N , surgiu da necessidade da contagem, que se realiza por meio da operação de "fazer corresponder".

A idéia de "correspondência" é uma das idéias básicas de toda a matemática. Quando contamos, isto é, apontamos para um objeto de uma coleção qualquer e dizemos um, apontamos para o seguinte e dizemos dois, e assim por diante, estamos estabelecendo uma correspondência, um para um, entre cada item desta coleção de objetos e a sucessão de números naturais. Assim, cada número representa a propriedade comum existente entre dois conjuntos com a mesma quantidade de elementos e contar significa estabelecer uma correspondência, um para um, entre cada item de uma coleção qualquer de objetos e a sucessão de números naturais.

A maneira mais simples para representar a idéia de número é a de atribuir a cada um deles, um símbolo que represente esta idéia ou propriedade comum.
Os romanos, por exemplo, usavam os símbolos I, V, X, D, C, L e umas regras complicadas de repetições e justaposições para representar os números. Por estas regras o número 15 era escrito como XV, 171 como CLXXI e 1400 como MCD. É fácil perceber que um sistema de numeração deste tipo, tem o grave inconveniente de não se poder ir muito longe, pois cada mudança de classe exigiria, pelo menos, a invenção de um novo símbolo e necessitaríamos de uma memória prodigiosa para sabê-los todos de cor! (Você é capaz de lembrar como se escreve o número 9052 no sistema de numeração romano?)
Se escrever estes números não é uma tarefa muito simples, já imaginou o que seria então "fazer contas" usando-se este sistema?!!

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O Sistema de Numeração Posicional e o Surgimento do Zero

A necessidade de se inventar um sistema de numeração escrita onde usando-se poucos símbolos fosse possível representar qualquer número, por maior que fosse, e de se "fazer contas" de uma maneira rápida e fácil, levou à criação do sistema de numeração posicional, onde o valor de cada símbolo (algarismo) depende da posição ou classe que ele ocupa, e à criação de um símbolo (0) para preencher ou indicar classes vazias, que iria revolucionar os sistemas de numeração.
Para entender como o zero surgiu, precisamos conhecer um dos primeiros "computadores" conhecidos pela humanidade: o ábaco. O ábaco , inicialmente, consistia em meros sulcos feitos na areia onde se colocavam pedras. Cada sulco representava uma ordem. Assim, o primeiro sulco, da esquerda para a direita, representava as unidades; o segundo, as dezenas; o terceiro as centenas e assim por diante. Cada pedrinha colocada em um sulco correspondia à unidade da ordem do sulco, isto é, uma pedrinha no segundo sulco valia uma unidade de 2a ordem, que corresponde, no sistema de base 10, a 10 unidades simples. Dessa maneira, no ábaco desenhado na figura abaixo está representado o número 23, no sistema de numeração decimal.

[Maple OLE 2.0 Object]

Agora é com você!

[Maple OLE 2.0 Object]

    (a) No sistema de numeração decimal, que número está representado no ábaco acima?

    (b) Que símbolo você usou para representar a classe vazia?

Respostas

Observe que a classe vazia do ábaco foi representada pelo símbolo 0 (zero). Foi este o procedimento dos hindus: para representar a coluna vazia do ábaco, eles introduziram um símbolo que chamaram de Sunya (vazio). Este nome passou para o árabe como Cifer, depois Zefir, e, finalmente, zero, em português.
Ficou claro agora, a grande vantagem do sistema de numeração chamado posicional? Com este sistema, não é mais necessário inventar símbolos novos para cada número: para o sistema decimal, por exemplo, bastam dez símbolos - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
O sistema de numeração posicional permite não só escrever os números de maneira muito simples mas também efetuar as operações muito facilmente (tente fazer uma conta bem simples usando o sistema de numeração romana e sinta a dificuldade!!).

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O Conjunto dos Naturais

Como vimos, da necessidade da contagem, que se realiza por meio da operação de "fazer corresponder", surgiu o conjunto dos números naturais {1,2,3,...}, representado pelo símbolo N .
Na sucessão dos números naturais podemos passar de um número para o seguinte juntando-lhe uma unidade . Assim, passamos do 1 para o 2, do 2 para o 3, e, dessa maneira, podemos ir tão longe quanto quisermos, isto é, dado um número
n qualquer, por maior que ele seja, podemos sempre obter um número n +1, maior do que ele. Este fato exprime-se por qualquer dos seguintes enunciados:

(a) a sucessão dos naturais é ilimitada (não há um número natural maior que todos os outros).

(b) dado um número natural, por maior que ele seja, existe sempre outro maior do que ele.

(c) há uma infinidade de números naturais.

(Na impossibilidade de listar todos os elementos do conjuntos dos naturais, usamos as reticências para evidenciar esta propriedade.)

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O Surgimento do Conjunto dos Números Inteiros

Uma das deficiências apresentadas pelo conjunto dos números naturais é a impossibilidade da subtração. Para entender esta impossibilidade, considere um móvel que partindo de um ponto O, atinge um ponto P ao fim de 5 segundos, movendo-se a uma velocidade de 1 m/s. Podemos concluir que o ponto P está a uma distância de 5m do ponto O. Suponhamos, agora, que o móvel mude o sentido do movimento mas continue com a mesma velocidade por mais 3 segundos. Ao fim destes 3 segundos ele estará a 2m de distância do ponto O. Poderíamos chegar a esta conclusão a partir dos dois resultados parciais que expressam as duas fases do movimento, isto é subtraindo 3 (distância percorrida pelo móvel na segunda fase) de 5 (distância percorrida na primeira fase). Assim, a posição final do móvel poderia ser obtida por meio da operação [Maple Math] .

Esta operação não é sempre possível no conjunto dos naturais. Vamos exemplificar. Suponhamos que o móvel, partindo de O e movendo-se sempre com uma velocidade de 1 m/s, siga para a direita durante 5 segundos e retroceda, com a mesma velocidade, durante 8 segundos. Ao fim dos 13 segundos, ele estará numa posição a 3 metros a esquerda do ponto O, conforma mostra a figura.

[Maple Plot]

Este resultado é impossível de obter, como anteriormente por meio de uma subtração, no conjunto dos números naturais, pois não existe nenhum número natural que represente o resultado da operação [Maple Math] .

Esta deficiência dos naturais foi remediada ampliando-se esse conjunto e formando-se o conjunto dos números inteiros {...-2, -1, 0, 1, 2, ...}, denotado pelo símbolo Z ( da palavra alemã Zahl, que significa número).

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O Problema da Medida

Assim como os números naturais surgiram da necessidade de contar, os números racionais, que são expressos pela razão entre dois inteiros, surgiram da necessidade de medir.

Medir é comparar duas grandezas da mesma espécie - área com área, volume com volume, comprimento com comprimento, velocidade com velocidade e assim por diante. Para isso é necessário estabelecer um padrão de comparação para todas as grandezas da mesma espécie.

Vamos exemplificar. Suponhamos que você tenha que medir a área de uma figura qualquer, por exemplo, de um hexágono. O problema consiste em comparar a área do hexágono com a área de uma outra figura qualquer, a nossa escolha. Esta figura pode ser qualquer uma. Neste exemplo, vamos escolher o triângulo equilátero cujo lado tem o mesmo comprimento do lado do hexágono. Clique na palavra hexágono e execute os movimentos indicados na figura.

  • Quantas vezes o triângulo cabe no hexágono?

Este número expressa a medida da área do hexágono quando consideramos a área do triângulo como termo de comparação. Podemos dizer, então, que a área do hexágono é igual a 6 vezes a área do triângulo escolhido como padrão de medida.
A grandeza que serve como termo de comparação é chamada de unidade de medida. Neste exemplo, a unidade de medida considerada foi a área do triângulo equilátero.
Em resumo, para se efetuar a operação de medir é necessário:

1 - Estabelecer um único de termo de comparação para todas as medidas da mesma espécie - a unidade.

2 - Procurar responder à pergunta: quantas vezes? - a fim de obter um número que é a medida da grandeza dada na unidade adotada.


Em princípio podemos escolher a unidade como quisermos, por exemplo 1 cm para comprimentos, 1 segundo para tempo, etc. mas, na prática, devemos levar em conta certos aspectos dessa escolha. Não seria cômodo medir a largura de uma mesa adotando o quilômetro como unidade, e não seria muito inteligente utilizarmos o mm 2 para medir a área de um terreno!!
Clique aqui, e experimente alterar a unidade de medida considerada para observar como a medida do segmento AB também varia.

Só em casos muito especiais a grandeza a ser medida contém um número inteiro de vezes a unidade de medida. O caso mais frequente é o da figura abaixo onde, desejamos medir o segmento CD adotando como unidade a medida u do segmento AB. Na figura notamos que AB não cabe um número inteiro de vezes em CD, sobra o "pedaço" ED.

[Maple OLE 2.0 Object]

É claro que neste exemplo, podemos subdividir a unidade em partes menores para que cada uma delas caiba um número inteiro de vezes na grandeza a medir como indica a figura abaixo, onde dividimos AB em três partes iguais.

[Maple OLE 2.0 Object]

A nova unidade u' acha-se contida 10 vezes em CD. Mas, o que se pode dizer da medida de CD em relação à AB?

Como CD = 10 u' e AB = 3 u', temos que [Maple Math] , ou seja [Maple Math] AB . Mas 10 não é divisível por 3, isto é a razão [Maple Math] não é um número inteiro. No conjunto dos números inteiros existe a impossibilidade da divisão, isto é, neste conjunto nem sempre é possível expressar o resultado de uma medição ou de uma razão.

Para resolver este problema criou-se um novo conjunto de números, chamado conjunto dos números racionais, denotado pelo símbolo Q (de quociente). Um número racional p é portanto, aquele que pode ser escrito na forma [Maple Math] , onde m e n são inteiros e [Maple Math] . (Lembre-se que a divisão por zero não tem sentido!!!)

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O Conjunto dos Números Irracionais

Parece que desta maneira resolvemos todos os nossos problemas de medição. Doce engano! Existem alguns números reais, tais como [Maple Math] e [Maple Math] , que não podem ser expressos como a razão entre inteiros . Isto quer dizer que em Q não podemos medir a diagonal de um quadrado de lado 1 ou a área de um círculo de raio 1, ou seja , as medidas dessa diagonal ou dessa área não podem ser expressas por um número racional. Este fato já tinha sido percebido pelos gregos na época de Pitágoras. Por esta razão estes números são chamados de irracionais. Podemos mostrar, com vários graus de dificuldade, que os números [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , são todos irracionais.

Todo número real tem (pelo menos) uma representação decimal infinita. Se o número é racional e portanto, é a razão entre dois inteiros, efetuando-se a divisão, duas coisas podem acontecer: ou a divisão é exata ou a divisão dá origem a uma dízima periódica.

Por exemplo, 2 = 2.0 , [Maple Math] = 0.5 , [Maple Math] = 0.6666... , [Maple Math] = 0.3171717... , [Maple Math] = 1.285714285714...

Quando a divisão é exata, existem duas representações decimais infinitas para o mesmo número. Assim,

2 = 2.0    ou    2 = 2.0000....    ou    2 = 1. 99999....

[Maple Math] = 0.5    ou    [Maple Math] = 0.50000.....    ou    [Maple Math] = 0.49999.....

Tanto neste caso, como no caso das dízimas, que só possuem uma representação decimal infinita, a parte decimal é repetida a partir de um certo ponto. (Daí o nome dízima periódica.)

Se o número é irracional a parte decimal não segue nenhum padrão, isto é não se repete nunca. Com o auxílio de um computador, podemos calcular a representação decimal de [Maple Math] e de [Maple Math] com muitas casas decimais para nos convencer deste fato.

Agora é com você!

Com um programa de computador um pouco mais sofisticado, é possível obter aproximações para estes números com um número muito maior de casas decimais. Abaixo, calculamos aproximações para o número [Maple Math] com 9, 49 e 199 casas decimais, respectivamente.

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]
[Maple Math]
[Maple Math]

Embora estes números sejam convincentes eles não bastam como uma prova matemática. A demonstração que [Maple Math] é irracional é fácil e pode ser encontrada em Prova por Contradição. Já a prova de que [Maple Math] é irracional é muito difícil e foge ao objetivo deste curso.

Os valores acima, obtidos truncando-se a representação decimal de [Maple Math] num determinado ponto, são aproximações racionais para este número. Neste sentido, todo número irracional pode ser aproximado por um número racional e a aproximação será tanto melhor quanto mais casas decimais forem consideradas. Esta propriedade às vezes é expressa dizendo-se que o conjunto dos números racionais é denso no conjunto dos irracionais, isto é, qualquer que seja o número irracional k , existe uma sequência de números racionais [Maple Math] , ..., [Maple Math] , ... tal que, à medida em que n cresce, o erro que cometemos ao aproximarmos k por [Maple Math] é cada vez menor. Por exemplo, os termos da seqüência de racionais 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ... , se aproximam cada cada vez mais do número [Maple Math] , à medida em que consideramos mais e mais termos na seqüência.

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A Reta Numerada

É possível estabelecer uma correspondência biunívoca ou um a um entre o conjunto dos números reais e os pontos de uma reta, isto é, é possível associar um único número real a cada ponto P de uma reta e, reciprocamente, a cada ponto P de uma reta é possível associar um único número real da maneira descrita a seguir.

Escolhemos um ponto arbitrário O da reta e uma conveniente unidade de medida. O ponto O será chamado de origem. A este ponto associamos o número real 0 (zero). Cada número real positivo x é representado pelo ponto da reta que está a x unidades à direita da origem e cada número negativo - x é representado pelo ponto da reta que está a x unidades à esquerda da origem. O número associado ao ponto P é chamado coordenada de P, a reta é então chamada reta coordenada , reta real numerada ou simplesmente reta real e a correspondência assim estabelecida é dita um sistema de coordenadas na reta .

No exemplo ao lado, a coordenada de P é -4, a de Q é -2 , e assim por diante.

[Maple Plot]

Uma vez estabelecido um sistema de coordenadas podemos identificar o ponto a sua coordenada e passar a pensar em qualquer número como um ponto da reta real.


Agora é com você!


Clique aqui e brinque com a reta.



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Valor absoluto de um número e distância entre dois pontos

O valor absoluto ou módulo de um número a , denotado por | a |, é a distância de a à origem do sistema de coordenadas.

Distâncias são sempre positivas ou nulas. Assim, temos que

| a | ³ 0 , qualquer que seja o número real a .

Por exemplo, [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] .

Em geral, temos

[Maple Math] .

(Note que se a é negativo, [Maple Math] é positivo e a definição acima está de acordo com a nossa observação inicial que | a | ³ 0 .)

Exemplo

Expresse [Maple Math] sem usar o símbolo de valor absoluto.

Solução:

[Maple Math] = [Maple Math]

Cuidado!

O símbolo [Maple Math] significa a raiz positiva de x . Assim, [Maple Math] significa que [Maple Math] e y ³ 0. Consequentemente, a equação [Maple Math] , só é verdadeira quando x ³ 0. Se x < 0, então [Maple Math] é positivo e neste caso temos que [Maple Math] . Em resumo, temos que

[Maple Math] .

Usando a definição de valor absoluto, temos que [Maple Math] , qualquer que seja x real.

Podemos usar o conceito de valor absoluto para definir a distância entre dois números reais quaisquer. Se a e b são dois números reais, a distância entre eles é o valor absoluto da sua diferença. Geometricamente, se a e b são as coordenadas de dois pontos A e B da reta numerada, a distância entre A e B, denotada por [Maple Math] , é o comprimento do segmento AB e, portanto, [Maple Math] = [Maple Math] .

Note que a distância entre o ponto O (origem) e qualquer ponto A da reta numerada é dada por [Maple Math] = [Maple Math] , o que está de acordo com a definição dada anteriormente para valor absoluto.

O conceito de valor absoluto tem outras importantes aplicações além da determinação de distâncias entre pontos. Em geral, usamos valor absoluto quando estamos interessados na magnitude, ou valor numérico, de um número real independentemente do seu sinal.

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Relação de Ordem

Sejam a e b dois números reais quaisquer. Dizemos que a é menor que b e escrevemos [Maple Math] , quando [Maple Math] é positivo. Geometricamente, isto significa que o número a está à esquerda do número b na reta numerada. Equivalentemente, dizemos que b é maior que a e escrevemos b > a . Logo, somente três casos podem acontecer: ou [Maple Math] , ou [Maple Math] ou [Maple Math] .Neste sentido dizemos que o conjunto dos números reais é ordenado. O símbolo [Maple Math] , lê-se a é menor ou igual a b , (ou b ³ a, lê-se b é maior ou igual a a ) significa que ou a < b ou a = b ( b > a ou b = a ).

Se a , b e c são números reais, podemos demonstrar que:

( i ) Se a < b e b < c então a < c .

( ii ) Se a < b então [Maple Math] .

( iii ) Se [Maple Math] e [Maple Math] então [Maple Math] .

( iv ) Se [Maple Math] e c > 0 então [Maple Math] .

( v ) Se a < b e c < 0 então a c > b c .

( vi ) Se 0 < a < b então [Maple Math] .

Regras análogas valem para a relação maior que.

Cuidado!

A regra ( ii ) nos diz que podemos adicionar qualquer número a ambos os lados de uma desigualdade e a regra ( iii ) diz que podemos adicionar desigualdades, mas devemos tomar cuidado com multiplicações! A regra ( iv ) diz que a desigualdade é mantida quando multiplicamos ambos os lados por um número positivo mas a desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ambos os lados por um número negativo. (Regra ( v ). A regra ( vi ) diz ainda que se considerarmos recíprocos de números positivos a desigualdade também muda de sentido.

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Conjuntos

Na seção anterior usamos várias vezes a palavra conjunto para denotar uma coleção de números. Em matemática, um conjunto é uma coleção de objetos de qualquer espécie e esses objetos são chamados elementos do conjunto. Conjuntos são denotados por letras maiúsculas e seus elementos, listados entre chaves e separados por vírgulas, por letras minúsculas. Por exemplo, o conjunto A de todos os inteiros positivos menores ou iguais a 7 pode ser escrito como:

[Maple Math] .

Podemos também denotar o conjunto A usando a propriedade que o define do seguinte modo:

A ={ x Î Z ; 0 < x £ 7 }

(lê-se A é o conjunto dos x em Z tais que 0 < x £ 7, ou A é o conjunto dos números inteiros maiores que 0 e menores ou iguais a 7).

Se S é um conjunto a notação a Î S significa que a é um elemento de S e a Ï S significa que a não é um elemento de S. Por exemplo, - 3 Î Z , [Maple Math] Ï Z .

Se S e T são conjuntos quaisquer, então sua união S È T é o conjunto constituído de todos os elementos que estão em S ou em T (ou em ambos S e T).

A interseção de S e T é o conjunto S Ç T constituído de todos os elementos comuns a S e a T, isto é, de todos os elementos que estão em S e em T.

O conjunto vazio, denotado pelo símbolo F , é o conjunto que não contém nenhum elemento. O conjunto de todos os dias da semana que começam por x é um exemplo de conjunto vazio.

Dizemos que um conjunto S é um subconjunto do conjunto T ou está contido em T, e escrevemos S Ì T (ou equivalentemente T É S - lê-se T contém S), quando todos os elementos de S também são elementos de T. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo. No caso de S Ì T e S ser diferente de T, dizemos que S é um subconjunto próprio de T.

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Intervalos

Em Cálculo lidamos, comumente, com certos conjuntos numéricos chamados intervalos que correspondem, geometricamente, a segmentos de reta (ou semi-retas). Por exemplo, se a < b , o intervalo aberto , denotado por ( a , b ), é constituído por todos os números reais que estão entre a e b .

Usando a notação de conjuntos, podemos escrever esta definição do seguinte modo:

( a , b ) = { x Î R ; a < x < b }

Note que, neste caso, os extremos - os números a e b - não pertencem ao intervalo. Esta exclusão é indicada pelos parênteses e pelo círculo vazio na figura ao lado, que ilustra geometricamente o intervalo ( a , b ).

[Maple Plot]

O intervalo fechado de a até b é o conjunto:

[ a , b ] = { x Î R ; a £ x £ b }

Neste caso, os extremos pertencem ao intervalo. Isto é indicado pelos colchetes e pelo círculo cheio no desenho.

[Maple Plot]

É também possível que um extremo esteja incluído num intervalo e o outro não.

Por exemplo, podemos definir o intervalo (a,b] do seguinte modo:

( a , b ] = { x Î R ; a < x £ b },

e a sua representação geométrica é mostrada na figura ao lado.

[Maple Plot]

Neste caso, os intervalos são ditos semi-abertos.

Podemos também considerar intervalos infinitos tais como

( a , [Maple Math] ) = { x Î R ; x > a }

Este intervalo é representado geometricamente por uma semi-reta de origem em a, como mostra o desenho. Note que, neste caso, a origem a, não pertence ao intervalo.

[Maple Plot]

Repare que o símbolo [Maple Math] não representa um número: a notação ( a , [Maple Math] ) define o conjunto de todos os números maiores que a e o símbolo [Maple Math] indica somente que o intervalo se prolonga indefinidamente, a partir de a , na direção positiva da reta numerada (para a direita do número a ).

Um resumo das situações que podem ocorrer é mostrado na tabela a seguir:

Notação   /   Definição

( a , b ) = { x Î R ; a < x < b }

[ a , b ] = { x Î R ; a £ x £ b }

( a , b ] = { x Î R ; a< x £ b }

[ a , b ) = { x Î R ; a £ x< b }

( a , [Maple Math] ) = { x Î R ; x > a }

[ a , [Maple Math] ) = { x Î R ; x ³ a }

( [Maple Math] ) = { x Î R ; x < b }

( [Maple Math] ] = { x Î R ; x £ b }

( [Maple Math] ) = R

Agora é com você!

  • Faça uma representação na reta real de cada um dos intervalos acima.

Respostas

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