Respostas do Capítulo Retas: Uma Curva muito Especial



Declividade

1a) [Maple Math]

Declividade

1b) [Maple Math]

Declividade

2) A reta do quadro à esquerda tem declividade igual a [Maple Math]. A reta do quadro à direita tem declividade igual a 1. Nas figuras apresentadas, elas parecem ter a mesma inclinação porque as escalas usadas no traçado de cada gráfoico é diferente. Repare que nos dois gráficos a escala usada para graduar o eixo x foi a mesma, mas para graduar o eixo yforam usadas escalas diferentes: uma unidade usada no segundo gráfico é 8 vezes menor do que aquela usada no primeiro gráfico. Repare que, no primeiro gráfico, a graduação do eixo yvai de 0 a 1 e, no segundo, de 1 a 8.

Verificando o que você aprendeu

(a) A reta passa pela origem.

(b) A reta é crescente, isto é, à medida em que xcresce os valores de ytambém crescem. Em outras palavras, a reta ascende para à direita.

(c) A reta é decrescente, isto é, à medida em que xcresce os valores de ydecrescem. Em outras palavras, a reta descende para à direita.

(d) A reta é horizontal, isto é, paralela ao eixo x.

Variação de m

A reta [Maple Math]passa pela origem e mé a sua declividade. Quando mvaria, o ângulo que a reta faz com o eixo xtambém varia e a reta, no caso deste exemplo, gira em torno da origem. Repare que quanto maior é o valor absoluto de m, mais inclinada é a reta.

Variação de b

O ponto (0,b) é o ponto onde a reta intercepta o eixo y. Assim quando bvaria, a reta sofre uma translação na direção vertical, para cima ou para baixo dependendo do sinal de b.

Característica Geométrica

Quando bvaria, as retas [Maple Math]têm todas a mesma declividade e interceptam o eixo yem pontos diferentes (porque [Maple Math]é diferente em cada caso), isto é, elas formam uma família de retas paralelas.

Respostas dos Exercícios

Exercício 1

(a) Pelas condições dadas, podemos deduzir que a reta [Maple Math]passa pelo ponto (4,0). (Veja que, só neste caso, y> 0, quando x> 4 e y< 0 quando x< 4.) Como o ponto (4,0) pertence à reta, quando x= 4, y= 0. Substituindo estes valores na equação [Maple Math]obtemos [Maple Math]e, daí, b= 8.

(b) São paralelas.

(c) (i) 1 (ii) [Maple Math]

Observação para quem sabe um pouco de trigonometria: Como a declividade da reta é a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x, temos que a reta do item (i) faz um angulo de 45 graus com o eixo x([Maple Math]) e a segunda, um ângulo de 60 graus ([Maple Math]).

Exercício 2

(a) Para a reta ser paralela ao eixo xtemos que ter [Maple Math]e a sua equação será do tipo [Maple Math]. Neste caso o coeficiente de xna equação dada deverá ser zero. Assim, temos que [Maple Math], donde k= 3.

(b) Para a reta ser paralela ao eixo y(vertical) a sua equação deverá ser do tipo [Maple Math]. Neste caso o coeficiente de yna equação dada deverá ser igual a zero. Assim, temos [Maple Math]e daí [Maple Math]e [Maple Math].

(c) Para que a reta passe pela origem, sua equação deverá ser do tipo [Maple Math]. Neste caso o termo independente deverá ser igual a zero. Assim ,temos que [Maple Math]e daí k= 1 e k= 6.

Exercício 3

(a) [Maple Math]

(b) [Maple Math]

(c) [Maple Math]

(d) [Maple Math]

(e) [Maple Math]

(f) [Maple Math]

(g) [Maple Math]

(h) [Maple Math]

Exercício 4

(a) As retas têm declividades m1 = 2 e [Maple Math], respectivamente. Como as suas declividades são diferentes, as retas são concorrentes. O ponto de intrerseção destas retas é a solução (única) do sistema de equações [Maple Math]e [Maple Math]. Resolvendo este sistema encontramos x= 1 e [Maple Math]. Assim, o ponto de interseção das retas é (1,-2).

(b) (i) Se [Maple Math]as duas retas são verticais e passam pelos pontos (0, -C/A) e (0, -C'/A). Assim, se C ' ¹Cas retas são paralelas e se C ' = Cas retas coincidem. Se A= 0, as duas retas são horizontais e passam pelos pontos (0, -C/B) e (0, -C '/B). Assim, se C ' ¹Cas retas são paralelas e se C ' = Cas retas coincidem. Se Be Asão ambos distintos de zero, temos que as retas têm declividades iguais a [Maple Math]e, portanto, são paralelas. Neste caso, se C' = Cas retas serão coincidentes.

(ii) As retas têm declividades [Maple Math]e [Maple Math], respectivamente. Como [Maple Math], as retas são perpendiculares.

Exercício 5

(a) Seja A = (-2,9), B = (4,6), C = (1,0) e D = (-5,3). Temos que [Maple Math]= [Maple Math]. Do mesmo modo, [Maple Math]= [Maple Math], [Maple Math]= [Maple Math]e [Maple Math]= [Maple Math].

Assim, o polígono cujos vértices são os pontos ABCD tem lados congruentes. Para provar que este polígono é um quadrado precisamos mostrar que os lados opostos são paralelos e que os ângulos internos são retos. A reta que passa pelos pontos A e B tem declividade [Maple Math]e a reta que passa por A e D tem declividade 2. Desse modo, o ângulo A é reto. Da mesma maneira, a reta que passa por B e C tem declividade 2 e a que passa por C e D tem declividade [Maple Math]. Assim, os ângulos C, B e D também são retos. Repare ainda que as retas que passam por A e D e por B e C são paralelas, como também as retas que passam por A e B e por D e C. Assim, o polígono cujos vértices são os pontos ABCD é um quadrado. Vejo o esboço deste quadrado na figura abaixo.

[Maple Plot]

(b) Primeiramente repare que qualquer triângulo pode ser colocado na posição indicada na figura, isto é com um dos vértices coincidindo com a origem e um dos lados coincidindo com o eixo x. Como os pontos A e B são pontos médios dos lados do triângulo dado, suas coordenadas são ([Maple Math]) e ( [Maple Math]), respectivamente. A reta que passa por estes pontos é horizontal e, portanto paralela ao terceiro lado. Seja O = (0,0), C = (a, 0) e D = (b,c). Os triângulos ODC e ADB são semelhantes. Assim, [Maple Math]. Mas, como A é ponto médio de OD temos que [Maple Math]e, portanto [Maple Math].

Problema 1

A reta [Maple Math]passa pelos pontos (0,1) e (1,0). Como o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, o triângulo formado pelos eixos coordenados e a reta incidente é semelhante ao triângulo formado pela reta refletida, o eixo xe a reta vertical x= 2. Veja o desenho ao lado.

[Maple Plot]

Assim, a reta refletida é aquela que passa pelos pontos (1,0) e (2,1) cuja equação é [Maple Math].

Problema 2

(a) A equação da reta que passa pelos pontos (a,0) e (0,b) é [Maple Math]ou equivalentemente [Maple Math]. Dividindo esta equação por ab, obtemos [Maple Math], como queríamos demonstrar.

(b) A reta [Maple Math]passa pelos pontos ([Maple Math],0) e (0,3). Usando a equação deduzida no item (a) com [Maple Math]e b= 3, obtemos a equação [Maple Math], que é a equação pedida.

Problema 3

(a) Sabemos que a reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. Assim, encontrar a tangente a uma circunferência num ponto dado equivale a encontrar a reta perpendicular à reta suporte do raio que passa pelo ponto de tangência.

No problema dado temos que a equação da reta que passa por (0,0) e (3,4) é [Maple Math]. Esta é a reta suporte do raio que passa pelo ponto (3,4). A tangente é a perpendicular a esta reta que passa por (3,4). Assim, a equação da tangente procurada é [Maple Math]. Veja a figura ao lado.

[Maple Plot]

(b) Veja a solução deste problema na página indicada.

Gráficos de Desigualdades - Respostas



Exercício 1

(a) Reta vertical que passa pelo ponto (4,0).

[Maple Plot]


(b) Reta horizontal que pasa pelo ponto (0, -3).

[Maple Plot]


(c) [Maple Math]se e somente se [Maple Math](eixo y) ou [Maple Math](eixo x). Assim, o gráfico pedido é formado pela união do eixo xcom o eixo y.

[Maple Plot]


(d) Região do plano entre as retas verticais x= 2 e x= -2 e acima da reta horizontal y= 1 ou abaixo da reta horizontal y= -1. Veja os gráficos abaixo. A região pedida é a união destas duas regiões.

[Maple Plot]

[Maple Plot]

(e) Região formada pelo segundo e quarto quadrantes (para que o produto seja negativo, os números devem ter sinais contrários).

(f) Região do plano entre as retas horizontais y= -2 e y=2 (estas retas estão incluídas na região pedida) e, ou à direita da reta vertical x= 1, ou à esquerda da reta vertical x= -1. Veja os gráficos abaixo: a região pedida é a união destas duas regiões.

[Maple Plot]

[Maple Plot]

(g) O conjunto dos pontos equidistantes de A= (0,1) e B = (1,0) é a mediatriz do segmento de reta AB. A reta suporte do segmento AB tem equação [Maple Math].

A mediatriz do segmento AB é a reta que passa pelo seu ponto médio (ponto cujas coordenadas são ([Maple Math])) e é perpendicular à reta [Maple Math]. Logo, a equação da mediatriz é [Maple Math]. Veja seu gráfico ao lado.

[Maple Plot]

Exercício 2

(a) {(x,y) ÎÂ; y< xe y> 0 }

Exercício 2

(b) {(x,y) ÎÂ; y=1 }

Exercício 2

(c) {(x,y) ÎÂ; 1 < x< 3 }

Exercício 2

(d) {(x,y) ÎÂ; x= 1 }

Exercício 2

(e) {(x,y) ÎÂ; -1< x< 1e -1 < y< 1 }

Exercício 2

(f) {(x,y) ÎÂ; x > 2 e y³1 }

Exercício 2

(g) {(x,y) ÎÂ; [Maple Math]e [Maple Math]}

Exercício 2

(h) {(x,y) ÎÂ; y> -x-2 e y> 2x-4 e y< x}

Exercício 3

(a)

[Maple Plot]

(b)

[Maple Plot]

Exercício 4


No esboço ao lado, a região azul é a região pedida. As retas vermelhas, sua fronteira, fazem parte da região e são determinadas pelas equações x = 0, 3x + 3y = 3, x + 3y = 1,5, 8x + 2y = 4 e y = 0
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[Maple Plot]

Modelando e Resolvendo Problemas Reais - Respostas



Problema 1

(a) [Maple Math], assim as constantes me bvalem respectivamente 1700 e 42000.

(b) Após 17 anos da sua aquisição.

(c) [Maple Math]. Resolvendo esta equação temos que [Maple Math], aproximadamente. Este valor significa que, aproximadamente, após 18 anos e 9 meses da aquisição, o apartamento estará valendo R$74000,00.

Problema 2

(a) [Maple Math]

(b) Aproximadamente, 7268 milhões de habitantes.

Problema 3

(a) Se a velocidade é constante, a distância percorrida sé dada pela equação [Maple Math], onde té o tempo percorrido. Como o automóvel percorreu uma distância de 150 km em 2 horas, desenvolveu uma velocidade de 75 km/h. Assim, [Maple Math]onde sé a distância percorrida pelo automóvel (em km) e té o tempo transcorrido (em horas).

(b) O gráfico da equação encontrada no item (a) é a reta traçada no desenho ao lado.

[Maple Plot]

(c) A declividade desta reta é 75. Este valor é a razão entre a distância percorrida e o tempo trancorrido e, portanto, representa a velocidade (constante) desenvolvida pelo automóvel durante este trecho do percurso.