Gráficos de Funções



Definição e exemplos

O termo gráfico em matemática, geralmente é usado quando estamos descrevendo uma figura por meio de uma condição que é satisfeita pelos pontos da figura e por nenhum outro ponto.

Uma das representações gráficas mais comuns e importantes em matemática é o gráfico de uma função.

Podemos representar graficamente uma função usando vários tipos de gráficos: gráficos de barras, correspondência ou relação entre conjuntos, gráfico cartesiano.

Como já vimos nos exemplos do capítulo anterior,o gráfico cartesiano de uma função é o conjunto de todos os pontos ( [Maple Math]) do plano que satisfazem a condição [Maple Math], ou seja, o gráfico de uma função é o conjunto de todos os pontos do plano da forma ( [Maple Math]),com xvariando no domínio de f.

Os gráficos cartesianos permitem visualizar "a forma " geométrica de uma função e suas principais características.

Vamos praticar traçando gráficos de algumas funções. O quadro abaixo, à esquerda, mostra o gráfico da função y = x2 - 1.

Agora é com você!



(a) No quadro ao lado, modifique a expressão que define ypara obter a representação gráfica da função [Maple Math]

(b) Ainda usando o quadro ao lado, obtenha gráficos de outras funções, modificando a expressão usada para definir y.



Além disso, como a coordenada y de qualquer ponto (x,y) do gráfico de uma função f, é igual ao valor desta função calculada em x, podemos obter o valor de f(x) por meio do gráfico desta função, simplesmente como a altura do gráfico correspondente ao ponto de abscissa igual a x.

Agora é com você!

Modifique o valor da função e da variável x e observe como o valor de f(x) pode ser obtido por meio da leitura do gráfico da função.

Como os exemplos anteriores mostraram, o gráfico de uma função é uma curva plana. A questão que surge agora é saber se qualquer curva plana representa o gráfico de alguma função.Para responder a esta pergunta, observe os gráficos abaixo e tente decidir qual deles representa o gráfico de alguma função. (Lembre-se: uma função é uma correspondência especial que a cada ponto de seu domínio associa um único ponto da sua imagem)

Verifique quais dos gráficos abaixo, são gráficos de funções:

(a)

[Maple Plot]

(b)

[Maple Plot]

(c)

[Maple Plot]

(d)

[Maple Plot]

(e)

[Maple Plot]

(f)

[Maple Plot]

Repare que se uma reta vertical x = a interceptar uma curva em um único ponto (a,b), então há somente um valor para f(a) e este valor é b. Se, por outro, a reta x = a intercepta a curva em mais de um ponto, então a curva não pode representar uma função porque, neste caso, dois valores diferentes estariam associados, pela função, à variável x = a. Assim, as curvas acima que representam gráficos de funções são aquelas em que nenhuma reta vertical as interceptam em mais de um ponto, isto é, as traçadas nos quadros (a), (b), (d) e (f).

O gráfico de uma função é, portanto, uma curva plana com a característica especial que qualquer reta vertical só a intercepta em um único ponto.

Agora é com você!

    (a) O gráfico de uma função pode ser simétrico em relação ao eixo x?

    (b) E em relação ao eixo y?

    (c) O que representam os pontos onde o gráfico de uma função corta o eixo x?

    Respostas



Exemplo 2

Considere a função definida por [Maple Math].

(a) Calcule f(0), f(1) e f(2).

(b) Esboce o gráfico desta função.

Solução:

(a) Uma função é uma regra. Neste exemplo em particular, a regra é a seguinte: se [Maple Math], então o valor de f(x) é dado por 1-x. Se, por outro lado, x>1, então o valor de f(x) é dado por [Maple Math]. Assim, temos que f(0) = 1-0 = 1, f(1) = 1-1= 0 (repare que 1 £ 1) e f(2) = [Maple Math].

(b) Para traçar o gráfico de f, observe que se x£1, então f(x) = 1-x. Assim, a parte do gráfico de f que está à esquerda da reta vertical x = 1 coincide com a reta y = 1 -x, cuja declividade é 1 e a interseção com o eixo y é o ponto (0,1). Se x> 1, então [Maple Math]e a parte do gráfico de f que está à direita da reta x = 1 deve coincidir com o gráfico de [Maple Math], que é uma parábola.

O gráfico desta função está esboçado ao lado. O disco sólido indica que o ponto em questão faz parte do gráfico da função e o círculo vazado indica que o ponto não faz parte do gráfico da função.

[Maple Plot]

A função do exemplo acima é definida por partes. Já vimos um outro exemplo de funções deste tipo onde os "pedaços" da função se juntavam e formavam uma linha contínua. (Veja exemplo 4 - Capítulo 5). Intuitivamente, dizemos que uma função é contínua na reta quando o seu gráfico é representado por uma curva contínua, sem quebras ou rupturas, que pode ser traçada sem tirar o lápis do papel. O gráfico da função deste exemplo apresenta uma "quebra" ou "salto" no seu traçado, no ponto x = 1. Neste caso, dizemos que a função é descontínua ou que apresenta uma descontinuidade neste ponto.

Agora é com você!

Os gráficos das funções definidas por partes podem ser uma linha contínua ou podem apresentar saltos.

    Conhecendo-se a expressão analítica de uma função definida por partes, é possível saber de qual destes dois tipos é o seu gráfico? Em caso afirmativo, explique qual a condição necessária para que a função seja contínua.

    Respostas

O gráfico, em cada um dos exemplos abaixo, representa uma função [Maple Math].

( a )

( b )

( c )

Nos três exemplos do exercício 2, determine os valores de xpara os quais y> 0 e os valores de xpara os quais [Maple Math].

Abaixo, estão os gráficos das funções y=2 x-1e y=xtraçados em conjunto.

Determine, graficamente, o ponto de interseção das duas retas.( Use a técnica de "zooms sucessivos".)

Na figura abaixo, estão representados em conjunto, os gráficos das funções [Maple Math]e z=x.

Considere agora a função [Maple Math].

Abaixo, com o auxílio do computador, traçamos o gráfico dessa função e calculamos o seu valor no ponto [Maple Math].

Dizemos que duas funções y=f(x) e y=g(x) são iguais se elas têm o mesmo domínio e se f(x)=g(x)para todos os valores de xdo seu domínio comum.

Assim, no exemplo acima as funções [Maple Math]e [Maple Math]não são iguais porque têm domínios diferentes. O ponto x=1pertence ao domínio de y= x+1, mas não pertence ao domínio de [Maple Math].

Para responder observe a animação abaixo:

[Maple Plot]

Podemos comprovar o comportamento observado na figura acima, examinando o que acontece, numericamente, com os valores de [Maple Math]a medida que xse aproxima de 1.

Nesta primeira sequência xse aproxima de 1 pela direita, isto é, por valores maiores que 1. Observe o que acontece com os correspondentes valores de [Maple Math].

[Maple Math]

Na sequência abaixo, xse aproxima de 1 pela esquerda, isto é por valores menores que 1. Novamente, observe o que acontece com os respectivos valores de [Maple Math].

[Maple Math]

Nesse caso, podemos observar que, quer xse aproxime de 1 pela direita ou pela esquerda, os valores da função se aproximam de 2. Dizemos então que o limite da função quando xtende a 1 é 2, ou em notação matemática, [Maple Math].

  • Exemplo 4

Estudemos agora, a função [Maple Math]. É claro que esta função não está definida para [Maple Math]. Além disso, lembrando que [Maple Math], concluímos imediatamente, que esta função é constante e igual a 1 para valores positivos de x, e é constante e igual a -1 para valores negativos de x. Traçamos abaixo o gráfico dessa função.

[Maple Plot]

  • O que acontece com os valores dessa função, quando xse aproxima de zero pela direita?

  • E quando xse aproxima de zero pela esquerda ?

Notamos, nesse caso, que o comportamento de [Maple Math]difere daquele do exemplo anterior, pois a função assume diferentes valores quando xse aproxima de zero pela direita ou pela esquerda. Neste caso dizemos que a função não tem limite no ponto [Maple Math].

  • Exemplo 5

Considere a função [Maple Math]. Pode-se concluir imediatamente que yassumirá valores positivos, quando xfor positivo e yserá negativo quando xfor negativo e que ynão está definido quando x=0. Mas o que acontece quando xse aproxima de zero?

Para os valores positivos de xtemos:

[Maple Math]

Para valores negativos de xobtemos:

[Maple Math]

Neste caso, notamos que a medida que [Maple Math]se aproxima de zero, quer pela direita, quer pela esquerda, os valores correspondentes de [Maple Math]crescem, sem limite, em valor absoluto. Dizemos, então, que quando xtende a zero pela esquerda, a função [Maple Math]tende para [Maple Math]e quando xtende a zero pela direita, a função tende a + [Maple Math]. Em notação matemática, escrevemos [Maple Math]e [Maple Math], respectivamente.

  • Você é capaz de dar outros exemplos de funções que apresentem este mesmo comportamento?

Vamos, agora, estudar o comportamento dessa função quando xcresce, sem limite, em valor absoluto.

Observe a sequência abaixo de valores positivos de xe os correspondentes valores da função [Maple Math]:

[Maple Math]

Agora, observe a sequência de valores negativos de xe os correspondentes valores da função:

[Maple Math]

Observe abaixo, como este comportamento "aparece" no gráfico da função.

Observe que quando xcresce em valor absoluto, o gráfico da função se aproxima da reta

y= 0 e quando xse aproxima de zero, o gráfico da função se aproxima da reta x= 0 . A reta x= 0 é chamada de assíntota vertical e a reta y= 0 é chamada de assíntota horizontal ao gráfico da função.

  • Altere a janela usada para o traçado do gráfico, para comprovar o comportamento acima.

Em resumo, dizemos que uma reta é uma assíntota ao gráfico de uma função quando, à medida em que um ponto se move ao longo da curva, a distância desse ponto à reta se aproxima de zero indefinidamente, sem nunca chegar a zero.

  • Exercício 5

Considere a função [Maple Math].

  • Qual o seu domínio?

  • Quais suas assíntotas?

  • O que ocorre no ponto [Maple Math]?

  • No gráfico dessa função, traçado abaixo, escolha uma janela adequada que mostre as suas principais características.

  • Exercício 6

Utilizando o gráfico da função [Maple Math], traçado abaixo, determine o seu maior domínio, a sua imagem e suas assíntotas .

Problemas

  • Problema 1

    • (a) Uma função fé dita crescente, quando f(x)cresce a medida que xcresce. Essa condição deve valer para todo xno domínio de f. Quando essa condição vale somente para os valores de xnum determinado intervalo, diz-se que fé crescente naquele intervalo.

      • Como se pode exprimir essa condição matematicamente ?

      • Dê exemplos de funções crescentes.

    • (b) Uma função fé dita decrescente, quando f(x)decresce a medida que xcresce. Essa condição deve valer para todo xno domínio de f. Quando essa condição vale somente para os valores de xnum determinado intervalo, diz-se que fé decrescente naquele intervalo.

      • Como se pode exprimir essa condição matematicamente?

      • Dê exemplos de funções decrescentes.

  • Problema 2

Uma função é dita par se [Maple Math]para todo xde seu domínio e é dita ímpar se [Maple Math]para todo xde seu domínio. Nos dois casos entende-se que -x

está no domínio de ftoda vez que xestá.

  • Determine se cada uma das funções abaixo é par ou ímpar ou nenhuma das duas.

  • Qual o aspecto característico do gráfico de uma função par ?

  • Idem para uma função ímpar?

  • O que se pode afirmar a respeito da soma de funções pares ?

  • Idem para funções ímpares ?

  • O que se pode afirmar a respeito do produto de funções pares ?

  • Idem para funções ímpares ?

  • O que se pode afirma a respeito do produto de uma função par por uma função ímpar ?

  • Problema 3

Quando um foguete de provas é lançado, o propelente queima durante alguns segundos, acelerando o foguete para cima. Após a queima total do combustível, o foguete ainda continua subindo durante um certo tempo, e então inicia-se o período de queda livre de volta à Terra. Uma pequena carga explosiva arremessa um paraquedas logo após o foguete começar a descer. O paraquedas diminui a velocidade de queda do foguete o suficiente para evitar que ele se quebre ao aterrissar. O gráfico abaixo, representa a velocidade ( dada em metros por segundo ) desenvolvida pelo foguete a partir do seu lançamento. Use o gráfico para responder as perguntas abaixo:

  • Com que velocidade o foguete subia quando o motor parou?

  • Durante quantos segundos o motor funcionou?

  • Quando o foguete atingiu a sua maior altura? Qual era a sua velocidade nesse momento?

  • Quando foi lançado o paraquedas? Com que velocidade o foguete estava caindo nessa ocasião?

Para você meditar: Gráficos de Superfícies

Nesse capítulo vimos que um conjunto de pares ordenados no plano da forma ( [Maple Math]) representa o gráfico de uma função que, nada mais é do que uma curva no plano com a propriedade especial de que cada reta vertical só a intercepta em um único ponto.

Já vimos também, que curvas planas mais gerais, podem ser representadas por equações algébricas envolvendo duas variáveis, por exemplo, a equação [Maple Math]representa, uma circunferência de centro na origem e raio unitário. A equação [Maple Math], a bissetriz do primeiro e terceiros quadrantes.

Como um terno ordenado de números reais determina um ponto no espaço, um conjunto de ternos representará um conjunto de pontos, que pode ser uma reta, um plano, uma superfície qualquer ou um sólido geométrico.

Desse modo, como fizemos no caso do plano, as figuras no espaço podem ser traduzidas por relações algébricas envolvendo três variáveis. Por exemplo a equação [Maple Math]tem como imagem um conjunto de pontos situados sobre a superfície de uma esfera de centro na origem e raio unitário. Veja o gráfico abaixo:

[Maple Plot]

Repare que a interseção da esfera com planos horizontais ou verticais são circunferências. Veja abaixo a interseção da esfera acima por planos horizontais.

[Maple Plot]

Uma relação de primeiro grau entre x, ye zrepresenta um plano. Assim, a relação [Maple Math]representa um plano onde a, b, ce dsão constantes conhecidas.

  • Você é capaz de determinar a equação cartesiana da superfície obtida pela rotação da curva [Maple Math]em torno do eixo z ? Esta superfície é chamada um parabolóide de revolução. Sugestão: A interseção de um parabolóide com um plano [Maple Math]é uma circunferência. A interseção com planos verticais são parábolas. Veja figura abaixo.

[Maple Plot]

Atividades Propostas

Dúvidas e sugestões:

 

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