Módulo I - Capítulo IV - Aprendendo


Retas Paralelas e Perpendiculares

Duas retas quaisquer no plano ou não se interceptam, ou são coincidentes, ou se interceptam em um único ponto.

Quando duas retas se interceptam, dizemos que são concorrentes. Neste caso, suas declividades são, necessariamente, diferentes.Veja exemplo ao lado.

[Maple Plot]

Determinar o ponto de interseção destas retas equivale a encontrar a solução (única) do sistema simultâneo de equações [Maple Math]e [Maple Math]. Resolvendo este sistema obtemos o par ([Maple Math]) que fornece as coordenadas do ponto de interseção das duas retas.

Duas retas com a mesma declividade são paralelas ou coincidentes. Se duas retas têm a mesma declividade e algum ponto em comum então necessariamente, elas são coincidentes. Caso contrário, as retas serão paralelas, isto é, retas paralelas são aquelas que têm a mesma declividade e nenhum ponto em comum.

A animação ao lado ilustra estas afirmações. Repare que estas retas ou não têm ponto comum ou coincidem.

[Maple Plot]


As retas [Maple Math]e [Maple Math], que têm a mesma declividade [Maple Math], são coincidentes (repare que estas retas passam pelo ponto ([Maple Math])).

[Maple Plot]

Neste caso, as equações[Maple Math]e [Maple Math]são ditas equivalentes, pois definem a mesma reta. (Repare que qualquer ponto (x,y) que seja satisfaça a primeira equação também satisfaz a segunda.)

Retas paralelas têm a mesma declividade e nenhum ponto em comum.

[Maple Plot]

Duas retas que se interceptam formando um ângulo reto são ditas perpendiculares.

Usando semelhança de triângulos, é fácil provar que duas retas com declividades [Maple Math]e [Maple Math]são perpendiculares se e somente se [Maple Math].

Suponhamos que as retas sejam perpendiculares como mostra a figura abaixo. Desenhamos um segmento de comprimento unitário à direita do ponto de interseção e traçamos, a partir de sua extremidade direita, um segmento vertical que intercepta as duas retas.

Os dois triângulos retângulos formados dessa maneira são semelhantes e têm lados com os comprimentos indicados. A semelhança implica que [Maple Math], o que prova a relação que queremos. Este raciocínio pode ser facilmente invertido e portanto se [Maple Math], então as retas são perpendiculares.

[Maple Plot]



Exemplo 2

Ache a equação da reta que passa pelo ponto (5,2) e é paralela à reta [Maple Math].

Solução

A equação da reta dada pode ser escrita como [Maple Math]. Logo, [Maple Math]. Como retas paralelas têm a mesma declividade, a equação da reta procurada é [Maple Math]ou [Maple Math].

Exemplo 3

Mostre que as retas [Maple Math]e [Maple Math]são perpendiculares.

Solução

As equações dadas podem ser escritas como [Maple Math]e [Maple Math]. Assim, seus coeficientes angulares são [Maple Math]e [Maple Math], respectivamente. Como [Maple Math], as retas são perpendiculares.

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