Introdução

Até agora estudamos algumas curvas planas definidas como gráficos de funções .

As origens da noção de função remontam às noções de representação gráfica (Renascimento) e de lugar geométrico (Antiguidade).

Quando enunciamos uma proposição P sobre propriedades que determinados conjuntos de pontos devem satisfazer, estamos definindo um lugar geométrico. Assim, um lugar geométrico nada mais é do que o conjunto de todos os pontos que tornam a sentença P verdadeira.

Por exemplo, a mediatriz de um segmento é definida como o conjunto dos pontos equidistantes das extremidades de um segmento dado.

No exemplo abaixo, é traçada a mediatriz do segmento de reta de extremidades (-2,2) e (2,-2).

Podemos também, usando essa propriedade geométrica, obter a equação algébrica que caracteriza os pontos que pertencem à mediatriz do segmento acima definido.

De um modo geral, uma curva no plano é o lugar geométrico ou gráfico de uma equação envolvendo duas variáveis x e y . Temos, então, dois problemas:

• Dada uma equação, determinar o lugar geométrico correspondente.

• Dado um lugar geométrico, definido por uma condição, determinar a equação correspondente.

Até aqui usamos um critério estático para definir uma curva como um certo conjunto de pontos.

É possível, entretanto, adotar um ponto de vista dinâmico, em que uma curva é pensada como a trajetória de um ponto móvel.

A mediatriz pode também ser caracterizada como a trajetória de um ponto que se move mantendo-se equidistante das extremidades de um dado segmento.

Essa caracterização é ilustrada na animação abaixo.

Exercício

Dois dos vértices de um triângulo são os pontos A (-1,3) e B (5,1).

• Determine a equação do lugar geométrico do terceiro vértice C , se este se move de maneira que a declividade do lado AC é sempre o dobro da declividade do lado BC .

Nas seções que se seguem, estudaremos alguns lugares geométricos importantes e usuais.

Circunferência

Quando um segmento de curva começa e termina no mesmo ponto temos uma curva fechada. Uma das mais simples e úteis curvas planas fechadas é a circunferência.

Podemos definir uma circunferência como o lugar geométrico dos pontos que equidistam de um ponto fixo C. O ponto fixo é chamado centro da circunferência e a distância de qualquer dos seus pontos ao centro é o raio dessa circunferência.

Usamos abaixo, a propriedade geométrica que caracteriza esse lugar geométrico, para traçar, com ajuda do computador, o gráfico da circunferência de centro em (0,0) e raio 1 e calcular a sua equação .

A equação desta circunferência é dada por

ou equivalentemente

Observe a animação abaixo para verificar que a circunferência pode ser definida como a trajetória de um ponto móvel.

Podemos provar que a circunferência é simétrica em relação a qualquer reta passando pelo seu centro. Para isso basta mostrar que a imagem espelhada P', de qualquer ponto P da circunferência, em relação a uma reta passando pelo seu centro, pertence a circunferência considerada, como ilustra a figura abaixo.

• Sabendo que o ponto C é o centro da circunferência dada, use congruência de triângulos para provar que a distância de C a P é igual a distância de C a P' e, então, conclua que P' pertence à circunferência.

Problemas

• Problema 1
  • Usando a fórmula de distância entre dois pontos do plano, deduza a equação cartesiana da circunferência de raio r e centro C= ( ).
  • Sob que condições a equação que você deduziu define y como função de x ?
  • Qual o domínio dessa função e qual a sua imagem?

• Problema 2

  A equação que você deduziu no Problema 1 pode ser escrita na forma .

  • Toda equação dessa última forma representa uma circunferência? Sob que condições isto é verdade?
  • Nesse caso, qual o centro da circunferência ? Qual o seu raio?

• Problema 3

  Sendo dadas uma circunferência e uma reta qualquer, sabemos que três situações podem ocorrer:

  • (1) Existem dois pontos comuns à reta e à circunferência. Nesse caso a reta é uma secante à circunferência.
  • (2) Existe apenas um ponto comum à reta e à circunferência. Nesse caso a reta é tangente à circunferência.
  • (3) Não existem pontos comuns à reta e à circunferência.

  Considere a circunferência de centro em (0,0) e raio r e uma reta y=mx+b qualquer.

  • Determine os pontos comuns à reta e à circunferência distinguindo os três casos acima.

• Problema 4

  O ponto P é um ponto que se move de maneira que sua distância ao ponto A =( a ,0) é k vezes sua distância ao ponto B =(- a ,0).

  • Mostre que o lugar geométrico do ponto P é a circunferência ( chamada circunferência de Apolonius ) de equação onde .
  • O que se pode concluir quando ?

  A animação abaixo ilustra o que acontece a medida que aumenta. Observe-a!

• Problema 5
  • Prove que a equação da tangente à circunferência no ponto é dada por .

  O estudo metódico da circunferência foi iniciado por Lacroix (1798) e esta expressão para a tangente à circunferência apareceu pela primeira vez em 1801, num livro de exercícios de Louis Puissant.

• Problema 6

  Define-se círculo como o lugar geométrico dos pontos cuja distância a um ponto fixo C é menor ou igual que um número positivo r . O ponto fixo é chamado centro do círculo e o número r , o seu raio.

  • Qual a equação de um círculo de centro em (0,0) e raio r ?
  • Esboce essa região.

Parábola

Problemas Propostos

• Problema 1

  Deduza a equação da parábola com foco F =( ) , com o eixo x perpendicular à diretriz e o eixo y coincidindo com a mediatriz do segmento FF ', onde F ' é a projeção ortogonal de F sobre a diretriz. Em todos os itens abaixo, estude os casos > 0 e .

  • Em que semi-plano está contida esta parábola?
  • Qual o seu eixo de simetria?
  • Qual o seu vértice?
  • Qual a equação da reta diretriz?
  • Em que condições esta equação define y como função de x ?

• Problema 2

  Nas mesmas condições do problema 1, suponha agora que o foco da parábola seja o ponto F =( ). Em todos os itens abaixo, estude os casos > 0 e .

  • Deduza a equação da parábola nesse caso.
  • Em que semi-plano está contida esta parábola?
  • Qual o seu eixo de simetria?
  • Qual o seu vértice?
  • Qual a equação da reta diretriz?
  • Em que condições esta equação define y como função de x ?

• Problema 3

  Em cada um dos itens abaixo, determine as coordenadas do vértice e do foco da parábola. Determine também a equação da diretriz e esboce o seu gráfico.

  • (a)
  • (b)
  • (c)
  • (d)
  • (e)

• Problema 4

  Sejam A, B e C constantes com A > 0.

  • Mostre que é a equação de uma parábola com eixo de simetria vertical e concavidade para cima.
  • Determine p e as coordenadas do vértice V e do foco F .
  • Encontre condições para que o gráfico dessa parábola intercepte o eixo x .
  • O que muda nesse exercício se A < 0?

• Problema 5

  Cometas são corpos celestes que podem ser visitantes temporários ou membros permanentes de um sistema solar. Eles podem ou não gravitar permanentemente em torno do sol, dependendo de sua velocidade. Se a velocidade do cometa for igual a velocidade de escape (cerca de 42 km/s), sua órbita se torna parabólica.

  O cometa Zagon segue uma órbita parabólica, com o planeta Zyfor no foco da parábola. Zagon está a 95 milhões de quilômetros de Zyfor quando a reta que liga Zyfor ao cometa é perpendicular ao eixo da parábola.

  • Qual a distância mínima do cometa ao planeta?

Para você meditar: Você já viu uma parábola? Então já viu todas!

Um estudante de matemática diz: "Se você viu uma parábola, já viu todas elas".

• Explique por que e em que sentido a afirmação acima está essencialmente correta.

• Explique por que uma afirmação semelhante não poderia ser feita para elipses.

Para ajudá-lo a pensar sobre as afirmações acima, vamos raciocinar juntos.

Em Geometria plana dizemos que duas figuras são congruentes se coincidirem perfeitamente, quando sobrepostas, por meio de uma mudança de posição. Os peixinhos abaixo, nossos velhos conhecidos, ilustram essa afirmação.

Mudanças de posição no plano, como vimos na animação acima, são caracterizadas por movimentos rígidos que são descritos, matematicamente, por translações, rotações em torno de pontos e reflexões em torno de retas. Estas transformações preservam a distância entre pontos do plano e por isso são chamadas isometrias .

Assim, podemos dizer que duas figuras são congruentes quando uma é a imagem da outra por meio de translações, rotações, reflexões em torno de retas ou composições destas transformações.

• Levando em conta a definição acima, decida se as parábolas e são congruentes.

• Idem para as parábolas e .

Em linguagem coloquial, dizemos que duas figuras são semelhantes quando têm a "mesma forma" mas "tamanhos diferentes". Com esta frase queremos dizer que a distância entre pontos não precisa ser necessariamente preservada (tamanhos diferentes) mas sim, a razão entre elas (mesma forma).

Em termos matemáticos mais precisos, duas figuras no plano são semelhantes quando uma é a imagem da outra por meio de uma transformação de semelhança do plano.

Transformações de semelhança são funções do plano nele mesmo que multiplicam as distâncias entre dois pontos por uma constante positiva, chamada fator de escala. Mais precisamente, uma transformação de semelhança é uma função T que a cada ponto do plano P associa um ponto P' de tal maneira que se P e Q são dois pontos do plano cujas imagens por T são, respectivamente, P' e Q' temos que P'Q' = k ( P Q ), para algum número positivo k . Isto é, a distância de P' a Q' é igual a k vezes a distância de P a Q . Se a constante k é igual a 1, esta transformação preserva as distâncias e, como já vimos, é chamada de isometria.

Rotações, translações e reflexões em torno de retas são exemplos de transformações de semelhança. Nestes casos, o fator de escala k é igual a 1 e, portanto, estas transformações são isometrias.

Homotetias (dilatações se k > 1 e contrações se k < 1) são, também, exemplos de transformações de semelhança. Por exemplo, num sistema de coordenadas cartesianas, uma função que leva os pontos ( x , y ) do plano em ( k x , k y ), k > 1 é uma dilatação. Se k < 1 a função anterior será uma contração.

Em outras palavras, dilações (contrações) mantêm um ponto fixo (no exemplo anterior este ponto fixo é a origem do sistema de coordenadas) e "esticam" ("contraem") os segmentos de reta que passam pelo ponto fixo, por um fator constante k .

Esta propriedade das homotetias é usada para "ampliar" ou "diminuir" o tamanho das figuras. Veja o exemplo abaixo.

O peixinho maior (uma ampliação do menor) foi obtido substituindo-se os pontos ( x , y ) usados para traçar o peixe menor por ( kx , ky ), com k = 2. Nesse sentido, os dois peixinhos da figura acima são semelhantes pois podem ser sobrepostos por meio de dilatações. Observe a animação abaixo.

Podemos mostrar que qualquer transformação de semelhança é uma composição de translações, rotações, reflexões em torno de retas e homotetias.

• Levando em conta o que foi exposto acima, decida se as parábolas e são semelhantes.

• Você é capaz de provar que qualquer parábola é semelhante à parábola ? (Isto é equivalente a mostrar que duas parábolas quaisquer são semelhantes e, nesse sentido, a afirmação sobre parábolas, feita no começo dessa seção, é verdadeira!)

• Você é capaz de determinar uma condição necessária e suficiente para que duas elipses sejam semelhantes?

• Quando duas cônicas quaisquer são semelhantes?

Problemas propostos

• Problema 1

  Ache a equação do lugar geométrico descrito pelo ponto P=( x , y ) que se move de tal modo que:

  • sua distância a (0,0) é o dobro de sua distância a ( a ,0).
  • o produto de suas distâncias a ( a ,0) e ( -a ,0) é . Essa curva se chama lemniscata.
  • o produto das inclinações das retas que o ligam a dois pontos dados é 9.

• Problema 2

  O ponto P = ( x , y ) se move de modo que a soma de suas distâncias aos dois pontos (3,0) e ( - 3,0) é 8.

  • Defina a curva percorrida pelo ponto e escreva uma equação para esta curva.

• Problema 3

  Um matemático aceitou um cargo numa nova Universidade situada a 6 km de uma margem retilínea de um grande lago. O professor deseja construir uma casa que esteja a uma distância da Universidade igual à metade da distância até a margem do lago. Os possíveis locais satisfazendo esta condição pertencem a uma curva.

  • Identifique a curva solução deste problema e determine a sua equação em relação a um sistema de coordenadas que tenha a margem do lago como eixo x e a universidade localizada no ponto (0,6) sobre o eixo y .

• Problema 4

  À exceção de pequenas perturbações, a órbita da Terra é uma elipse com o Sol em um dos focos. A razão entre a menor e a maior distância da Terra ao Sol é .

  • Determine a excentricidade da órbita elíptica.

• Problema 5

  O som cruza o ar com velocidade s , e um projétil, disparado de um revólver, viaja com velocidade b de um ponto localizado em ( -h ,0) para um alvo em ( h ,0) no plano xy .

  • Em que pontos ( x , y ) podem ser ouvidos simultaneamente o estrondo do revólver disparando e o barulho do projétil perfurando o alvo?

• Problema 6

  Sejam k e p dois números positivos dados, com k > p . Considere a elipse com eixo maior vertical, centro em (0, k ), focos em (0, p ) e (0, 2 k-p ) e vértice inferior na origem, cuja equação é e cujo gráfico (com k = 2 e p = 1) é dado abaixo.

  

  Fixando o foco inferior (0, p ) e o vértice inferior, observe o que acontece com esta elipse à medida em que o valor de k aumenta. Para isso trace o gráfico abaixo para diferentes valores de k .

  • Mostre que quando , esta elipse se aproxima da parábola cuja equação é .

• Problema 7

  Sejam k e p dois números positivos dados, com k > p .

  • Esboce o gráfico da hipérbole cuja equação é .
  • Mostre que quando , o ramo superior desta hipérbole se aproxima da parábola cuja equação é .

Dúvidas e sugestões: