Cap0_1.htm

Você sabe o que é um postulado?

O postulado abaixo nos fornece uma régua infinita que pode ser colocada em toda a reta e usada para medir a distância entre dois pontos quaisquer.

Postulado da Régua

Os pontos de uma reta podem ser postos em correspondência biunívoca com os números reais, isto é:

A cada ponto da reta corresponde exatamente um número real.

A cada número real corresponde exatamente um ponto da reta.

A distância entre dois pontos quaisquer é definida como o valor absoluto da diferença dos números reais a eles associados.

Uma correspondência do tipo descrito acima é chamada de sistema de coordenadas . O número correspondente a um dado ponto é dito a coordenada desse ponto.

Usualmente, para definir um sistema de coordenadas na reta, escolhemos um dos seus pontos como a origem do sistema. A este ponto, normalmente denotado pela letra O , é associado o número zero, que será a sua coordenada. Tendo-se fixado uma unidade de medida, a coordenada de cada ponto P , da reta, é determinada pela medida do segmento OP . Se, conforme a figura abaixo, o ponto S está à direita da origem, sua coordenada será e, portanto, positiva. Por outro lado, se o ponto P está à esquerda de O , sua coordenada será dada por logo, negativa.

Se a correspondência entre os números reais e os pontos da reta é feita da maneira descrita acima, temos que a distância entre dois pontos quaisquer P e S de coordenadas e , respectivamente, é dada por e essa fórmula independe da posição relativa dos pontos P e S . Dessa maneira, fica estabelecida uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos números reais e os pontos da reta que satisfaz às três condições impostas pelo Postulado da Régua.

No exemplo abaixo, a coordenada de P é -4, a coordenada de Q é -2 e assim por diante.

Qual a distância PS ?

Se a coordenada de um ponto M é x e a coordenada de N é y , quanto vale a distância MN ?

Quantos números reais existem ? Como você pode saber isso ?

Isso lhe diz algo sobre o número de pontos de uma reta? Quantos pontos tem uma reta ?

Exercícios

Exercício 1

Considere um sistema de coordenadas na reta. Suponha que 3 é adicionado à coordenada de cada ponto sendo então obtido um novo número associado a cada ponto.
- Se P tem coordenada 5, qual será seu novo número?
- Se dois pontos da reta têm coordenadas a e b, quais serão seus novos números?
- Expresse matematicamente a correspondência que a cada ponto P de coordenada x associa o seu novo número.
- Cada ponto da reta corresponderá a um novo número? Cada novo número corresponderá a um ponto da reta ?
- Sejam a e b os novos números de dois pontos P e Q de coordenadas x e y respectivamente. Mostre que a distância PQ é dada por | a-b |.
- Essa nova correspondência entre pontos e números satisfaz às três condições do Postulado da Régua ? Pode cada novo número ser chamado de coordenada de um ponto?

Exercício 2

Refaça o exercício anterior supondo que o novo número é obtido multiplicando-se por um número k , distinto de zero, a coordenada de cada ponto.

Coordenadas no Plano

Já sabemos, da seção anterior, como funciona um sistema de coordenadas sobre uma reta. Uma vez estabelecido um sistema de coordenadas sobre uma reta, a cada ponto corresponde um número e a cada número corresponde um ponto.Faremos o mesmo em um plano. Nesse caso, a um ponto corresponderá não um único número, mas um par de números. Essa correspondência será feita da maneira descrita a seguir.

Primeiro fixamos uma reta x no plano e estabelecemos um sistema de coordenadas sobre x . Esta reta será chamada eixo x ou eixo das abscissas. Seja agora, y a reta perpendicular ao eixo x passando no ponto de coordenada 0. Sobre y fixamos um sistema de coordenadas de tal modo que o ponto zero de y coincida com o ponto zero de x .( Por que isso é possível?) A reta y será chamada eixo y ou eixo das ordenadas.

Podemos, agora, identificar qualquer ponto do plano com um par de números reais da seguinte maneira: a coordenada x ou abscissa de um ponto P é a coordenada, no eixo x , do pé da perpendicular a este eixo passando por P e a coordenada y ou ordenada de P é a coordenada, no eixo y, do pé da perpendicular a este eixo passando por P. Se P tem coordenadas x e y escrevemos . Veja o exemplo abaixo:

Observe que a ordem na qual as coordenadas são escritas é importante. O ponto de coordenadas ( 1, 3 ) é e este ponto é diferente do ponto P de coordenadas ( 3, 1 ) = ( x, y ), mostrados na figura acima. Assim, as coordenadas de um ponto formam um par ordenado de números reais.

Pelo esquema fixado, todo ponto P determina um par ordenado de números reais e, reciprocamente, todo par ordenado de números reais ( a, b ) determina um ponto do plano. Temos então uma correspondência biunívoca entre os pontos do plano e os pares ordenados de números reais. Uma correspondência desse tipo é chamada sistema de coordenadas no plano .

O que é necessário para estabelecer um sistema de coordenadas no plano? Os eixos x e y precisam necessariamente ser perpendiculares? ( Veja problema 3)

É necessário indicar a escala usada ?

O eixo das abscissas e o eixo das ordenadas, usualmente colocados na posição indicada na figura anterior, dividem o plano em quatro regiões, denominadas quadrantes, indicados no esquema abaixo pelos símbolos i , ii, iii, iv, respectivamente:

[Maple Plot]

De acordo com a figura acima, o primeiro quadrante é o conjunto de todos os pontos ( x , y ) do plano para os quais x > 0 e y > 0; o segundo quadrante é o conjunto de todos os pontos ( x , y ) do plano para os quais e y > 0 e assim por diante.

Como a correspondência entre os pontos do plano e o conjunto de pares ordenados de números reais é biunívoca, em geral, nos referimos a um ponto P como o ponto ( 1,2 ) ou o ponto ( x , y ) quando, na realidade, queremos nos referir ao ponto P cujas coordenadas são ( 1,2 ) ou ( x , y ). Assim, quando escrevemos significa, sem ambiguidade, que estamos nos referindo ao ponto P cujas coordenadas são dadas, de modo único , pelo par ordenado ( x , y ) de números reais.

Distância entre dois pontos do plano

A distância entre dois pontos e no plano é representada por e definida pela fórmula

Esta fórmula é facilmente justificada pela Geometria Plana se observarmos que é a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem e , como mostra a figura abaixo.

Que Teorema garante a validade dessa fórmula ?

O que acontece quando ou quando ?

Exercícios

Exercício 1

Calcule os valores de t para que o ponto P , de coordenadas ( 2t+4, 3-2t ), esteja:
- ( a ) No primeiro quadrante.
- ( b ) No quarto quadrante.
- ( c ) Sobre os eixos.

Exercício 2

As duas retas traçadas abaixo representam a mesma função
- . Por que as figuras traçadas "parecem" diferentes? O que se pode concluir?

No gráfico abaixo, as opções e permitem definir os intervalos de variação de x e de y , respectivamente, usados para o traçado do gráfico. Isto também pode ser feito, embora sem controle do intervalo, usando-se os dois primeiros botões localizados no canto superior direito do gráfico. Voltaremos a explicar o uso desses botões mais tarde.

A opção Stretch To Fit ajusta a escala usada na graduação dos eixos para que o gráfico traçado ocupe toda a janela disponível.

Com essa opção selecionada, altere os intervalos de variação de x e de y e observe o efeito causado no traçado do gráfico.

Ainda no gráfico acima, clique sobre a opção Stretch To Fit e selecione True Proportions . Esta opção faz com que a mesma escala seja usada nos dois eixos coordenados permitindo, assim, que se preserve as verdadeiras proporções do gráfico traçado.

Com a opção True Proportions selecionada, altere os intervalos de variação de x e de y e observe o efeito causado no traçado do gráfico. ( Você pode alterar também a cor e o tipo de linha usados para o traçado do gráfico. Clique sobre os botões normal e Black e altere, respectivamente, o estilo da linha e a cor da mesma. Para isso, selecione uma das opções disponíveis na lista que aparece. )

É possível, também, ajustar o tamanho do gráfico ao tamanho da janela disponível para o seu traçado. Para isso, clique sobre a opção Moderately, escolha uma das opções disponíveis e observe o efeito causado no traçado do gráfico

Outros Sistemas de Coordenadas

A idéia básica da Geometria Analítica é a representação de pontos do plano ou do espaço ( veja problema 4 ) por meio de conjuntos de números reais denominados coordenadas . Um ponto qualquer do plano, como já vimos na seção anterior, terá sua posição perfeitamente determinada por meio de um par ordenado de números reais que representam medidas das distâncias a dois eixos orientados, um deles vertical e o outro horizontal.

Tal sistema não é novo a quem está habituado a localizar uma cidade no mapa. O eixo " vertical " , nesse caso, é o meridiano que passa por Greenwich, e o "horizontal" é o Equador ; as coordenadas, então, serão constituídas pelo par de números que definem a latitude e a longitude do lugar. O jogo conhecido como "Batalha Naval" é um outro exemplo de uso de um sistema de coordenadas.

Na antiguidade, os egípcios já utilizavam tal sistema de referência nos seus projetos e construções de templos e pirâmides. Os agrimensores romanos, para seus cálculos, dividiam os campos por meio de linhas retas paralelas entre si, perpendiculares a uma linha de referência que denominavam " linae ordinatae " ( linha ordenada ).

No século XVII, surgiram os primeiros ensaios sistemáticos sobre Geometria Analítica. Seus autores foram Pierre Fermat e René Descartes. Fermat, retomando a idéia dos construtores egípcios, se refere a um ponto do plano por meio de um par de retas perpendiculares entre si. Este sistema, apesar de ter sido introduzido por Fermat, recebeu o nome de "Sistema Cartesiano " em homenagem a Descartes, que assinava o seu nome em latim: Cartesius.

Existem muitos outros sistemas de coordenadas, além do cartesiano, cada um para determinado propósito. Um deles, muito utilizado, é o sistema polar ou sistema de coordenadas polares .

No sistema polar, a localização de um ponto P, do plano, fica perfeitamente determinada se conhecermos a sua distância r a um ponto fixo O , chamado polo ou origem do sistema, e a medida do ângulo que o segmento OP faz com uma reta fixa, chamada eixo polar. Neste caso, as coordenadas do ponnto P serão dadas pelo par ordenado de números reais ( ) conforme mostra a figura abaixo:

[Maple Plot]

Repare que, no sistema de coordenadas cartesianas, as distâncias são medidas a partir de retas paralelas aos eixos coodenados. Para isso, usamos uma malha quadriculada ou reticulada, como mostrada abaixo:

[Maple Plot]

No sistema de coordenadas polares, a distância r é medida a partir de circunferências concêntricas, centradas no polo ( todos os pontos sobre cada uma dessas circunferências estão a mesma distância do polo) e o ângulo , a partir de raios com origem no polo ( todos os pontos sobre cada um desses raios fazem o mesmo ângulo com o eixo polar ). Veja a figura abaixo:

[Maple Plot]

Um exemplo de aplicação dos gráficos em coordenadas polares se encontra na localização, por radares ou sonares, de navios em alto mar.

Para você meditar: A vantagem do uso de Sistemas de Coordenadas para a representação algébrica de curvas

Em Geometria Plana aprendemos que uma circunferência de centro C e raio r é o conjunto de todos os pontos do plano cuja distância a C é igual a r . Isto é, um ponto P pertence a circunferência se PC = r . A figura abaixo, mostra o gráfico da circunferência de centro no ponto ( 1,1 ) e raio 1 :

Usando a definição de distância entre dois pontos do plano, é possível expressar a condição que define uma circunferência qualquer, por meio de uma equação matemática. Assim, uma circunferência de centro na origem e raio um será o conjunto de todos os pontos ( x , y ) do plano que satisfazem à seguinte equação cartesiana:

ou equivalentemente

e o seu gráfico, o subconjunto do plano onde esta equação é satisfeita por todos os seus pontos e por nenhum outro.

Deduza a equação cartesiana satisfeita por todos os pontos da circunferência de centro em ( a , b ) e raio r .

As equações acima são ditas equações cartesianas porque são deduzidas usando-se o sistema de coordenadas cartesianas.

Algumas curvas têm uma expressão bastante complicada quando a mesma é expressa em coordenadas cartesianas, ao passo que, em coordenadas polares, tal equação apresenta uma simplicidade notável. A curva cuja equação cartesiana é dada por é chamada de lemniscata de Bernouilli. Quando expressa em coordenadas polares, a equação acima toma a forma mais simples . Veja, abaixo, o seu gráfico:

Usando a definição geométrica de circunferência, ache a equação polar da circunferência de centro no polo e raio 1.

Ache a equação da bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes em coordenadas polares. Considere o eixo polar coincidindo com o eixo x do sistema de coordenadas cartesianas.

A Geometria desenvolvida pelos antigos gregos é tão correta hoje quanto o foi a dois mil anos atrás. O primeiro grande avanço na Geometria, depois dos gregos, foi o estabelecimento dos sistemas coordenados que permitiu o desenvolvimento da Geometria Analítica.

O desenvolvimento dos sistemas coordenados e, consequentemente, da Geometria Analítica, tornou possível o estabelecimento de uma correspondência entre uma equação algébrica envolvendo duas variáveis e a curva plana consistindo de todos os pontos de coordenadas ( ) que satisfazem a equação dada, como fizemos, acima, no caso da circunferência e da lemniscata. Desse modo, é possível explorar as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria que, a partir do século XVII, passaram a se desenvolver juntas, com vantagens para ambas. Uma dessas vantagens evidentes é a simplicação da demonstração de muitos teoremas de Geometria. O exercício abaixo tenta evidenciar este fato.

Demonstre o teorema, enunciado a seguir, usando:
- ( a ) somente resultados de Geometria Euclidiana Plana.
- ( b ) estabelecendo um sistema de coordenadas cartesianas e usando resultados da Geometria Analítica.

Teorema da Concorrência das Medianas : As medianas de um triângulo são concorrentes. O ponto de concorrência está a dois terços ao longo de cada mediana a partir do seu vértice.

Problemas Propostos

Problema 1

Ao escavarem as ruínas de uma antiga civilização, uma equipe de arqueólogos descobriu peças de duas réguas antigas marcadas com conhecidos símbolos numéricos, mas cada uma usando uma unidade diferente de medida. Eles chamaram uma das escalas de "escala Zê" porque na régua estava gravado um símbolo semelhante a um " Z ". Após experimentar um pouco as duas réguas, eles descobriram que um quadrado cujo lado tinha comprimento de 1 zê tinha uma diagonal cujo comprimento era a unidade da outra escala. Portanto eles chamaram essa outra escala de "escala Diag". Pelo teorema de Pitágoras para triângulos retângulos, eles sabiam que 1 diag = zês.
- Qual é a medida em zês, de um segmento cuja medida em diags, é 1? 2? n?
- Faça uma tabela de conversão de diags em zês, para valores inteiros até 10 diags.
- Qual a medida em diags, de um segmento cuja medida em zês é 1? 4? n?
- Faça uma tabela de conversão de zês em diags, para valores inteiros até 10 zês?

Problema 2

Nas figuras abaixo, a escala sobre o eixo x é propositalmente diferente da escala sobre o correspondente eixo y , de modo a dar uma visão distorcida da figura pretendida. Qual é a figura em cada caso?

(a)

(b)

(c)

Problema 3 - Um sistema de coordenadas não ortogonal

Num sistema de coordenadas qualquer, os eixos x e y formam um ângulo, não nulo, .
- Como podemos definir as coordenadas de um ponto P nesse sistema?
- Se e qual a distância nesse novo sistema?

Problema 4 - Um sistema de coordenadas tridimensional

Se tomarmos uma reta perpendicular aos eixos x e y na interseção de ambos, poderemos fixar um sistema de coordenadas no espaço. Neste sistema, temos uma correspondência biunívoca entre os pontos do espaço e as triplas ordenadas de números reais. A projeção ortogonal de um ponto em um eixo é a coordenada deste ponto naquele eixo. Assim, um ponto fica completamente determinado por suas três coordenadas e escrevemos .
- P é um ponto do plano xy . Sua projeção no eixo x é 2 e no eixo y é 3. Quais são as suas coordenadas?
- Se é um ponto qualquer no plano yz , escreva suas coordenadas como uma tripla ordenada de números reais.
- Sobre que eixo está cada um dos pontos: , , ?
- Sobre que plano está cada um dos pontos: , , ?
- Se P' é a projeção de no plano xy , quais as coordenadas de P' ?
- Qual a distância do ponto ( ) ao plano xy ? ao plano xz ? ao plano yz ?
- Responda o item anterior para o ponto ( ), onde x , y , z são números reais quaisquer.
- Qual a distância do ponto ( ) ao ponto ( )?
- Quais as coordenadas do ponto médio do segmento que liga o pontos e ?

Projetos

Projeto 1 - Transformações no plano
- Objetivos
  - Identificar as transformações lineares no plano.
  - Relacionar estas transformações com a sua expressão analítica.

A figura abaixo foi traçada ligando-se os pontos (0,3),(1,2),(3,2),(5,3),(6,2),(6,5),(5,4),(3,5),(1,5),(0,4),

(0.5,3.5),(0,3) por segmentos de reta e marcando-se o ponto (1,4) por um pequeno losango.

No desenho abaixo, cada um dos pontos ( ) usados para traçar a figura original, em vermelho, foi substituído por ( ) . Repare que o peixinho original aparece, após essa substituição, refletido em relação ao eixo y .

Esta transformação, portanto, corresponde a uma reflexão em relação a reta x=0.

Que substituição deverá ser feita nos pontos usados para traçar o peixinho, para que ele apareça refletido em relação ao eixo x , como mostra o desenho abaixo?

Teste a sua resposta alterando, no item Declarations abaixo do gráfico, os pontos usados para desenhar o peixinho bicolor.

Como no item anterior, use o gráfico acima para fazer cada uma das substituições pedidas. Descreva, geometricamente, a transformação ocorrida no peixinho bicolor original. Se necessário, altere a janela usada para o traçado da figura.
- Substitua ( ) por ( ).
- Como essa transformação pode ser obtida a partir das duas anteriores?
- Substitua ( ) por ( )
- Substitua ( ) por ( )
- Substitua ( ) por ( ).
- Como essa transformação pode ser obtida a partir das duas anteriores?
- Substitua ( ) por ( ).
- Quais pontos pemaneceram invariantes após a transformação acima?
- Substitua ( ) por ( ).
- Substitua ( ) por ( ).
- Como essa transformação pode ser obtida a partir das duas anteriores?
- Substitua ( ) por ( ).

Se você não conseguiu descrever geometricamente o que aconteceu no caso acima, observe nas figuras abaixo o que acontece quando, nesse caso mais simples, substituímos ( ) por ( ).

Utilize o exemplo abaixo e tente traçar curvas planas que sejam :
- simétricas em relação ao eixo y .
- simétricas em relação ao eixo x .
- simétricas em relação à origem.
- simétricas em relação à diagonal principal.

Você é capaz de descobrir uma curva que tenha todas as propriedades citadas no item anterior?

Dúvidas e sugestões: