Geometria e Topologia

Sistemas Dinâmicos

Teoria das Folheações

A Teoria Geométrica das Folheações é mais uma das áreas em Matemática que realiza a confluência de vários domínios distintos: Topologia, Sistemas Dinâmicos, Topologia Diferencial e Geometria, entre outros. Seu grande desenvolvimento permitiu uma melhor compreensão de vários fenômenos de natureza Matemática e de natureza Físico- Matemática, contribuindo de forma importante para o desenvolvimento das diversas áreas supra-citadas, e que no início a municiaram. Teoremas hoje clássicos como os Teoremas de Estabilidade de Reeb, teorema de existência de holonomia não-trivial de Haefliger, e de existência de folha compacta de S.Novikov, e estudo de folheações com crescimento subexponencial desenvolvido por J.Plante hoje são buscados também para as folheações holomorfas.

Matemáticos renomados começam a investigar tais fenômenos (e.g E. Ghys, M. Brunella, C. Camacho, D. Cerveau, A. Lins Neto, P. Sad entre outros). O estudo de tal campo presupõe um conhecimento dos resultados e técnicas do caso real, assim como uma familiaridade com os aspectos mais clássicos dos sistemas dinâmicos holomorfos. Na linha de se entender os fenômenos principais inerentes ao caso complexo há (dentre outros): (1) Descrição das componentes de Reeb das folheações complexas de codimensão 1; (2) Estabilidade das folheações transversalmente holomorfas de codimensão 1 com singularidades; (3) Descrição das folheações holomorfas admitindo uma transversal total, difeomorfa a um toro (fenômeno de Haefliguer); (4) Obtenção de folha compacta para certas folheações holomorfas (ligado aos anteriores) como no Teorema de Novikov.

Evidentemente, o que se investiga aqui não é apenas uma troca das palavras classe C² por holomorfa nos teoremas clássicos de Teoria Geométrica das Folheações. Mas sim, uma compreensão de quais fenômenos são típicos do caso real, e quais podem ser pensados como uma consequência da hipótese de codimensão 1.

Do ponto de vista da Geometria Riemanniana as Folheações Mínimas ou mais geralmente as Folheações por folhas de curvatura média constante representam um objeto atraente e já investigado por vários autores (J.Barbosa, J.Miranda Gomes, R. Meeks, A. Magalhães entre outros).

Com a utilização de técnicas provenientes da Teoria Geométrica das Folheações é possível entender e explorar melhor a relação que existe entre a natureza geométrica das folhas e a dinâmica das folheações. Trabalhos nesta linha datam, no caso real, das décadas de 60 e 70.

A riqueza da problemática proposta se deve também ao fato de que nela se encontram técnicas e pontos de vista de diversas áreas da Matemática, tais como as já citadas Topologia, Geometria, Geometria Algébrica, Sistemas Dinâmicos e Várias Variáveis Complexas. Este caráter multidisciplinar é um dos pontos altos deste tema.

Graças a seu caráter aglutinador de conceitos de diversas áreas, a Teoria Geométrica das Folheações é peça fundamental na compreensão de fenômeno naturais em Ciência Básica.

Dada uma equação diferencial complexa (_*) , onde P e Q são polinômios complexos podemos associar de modo natural a (_*) um campo de vetores polinomial X = (P,Q) cujas órbitas são as soluções de (_*). Sendo X polinomial suas órbitas definem uma folheação por curvas holomorfas, com singularidades, no espaço projetivo complexo de dimensão 2 CP(2). Denotemos por F tal folheação. Então as folhas de F são superfícies de Riemann imersas em CP(2). Dada uma tal folha , onde i é a inclusão, temos que é uma imersão mínima onde em CP(2) consideramos a estrutura Riemanniana dada pela métrica de Fubini-Study. Da mesma forma, as órbitas de X em C² então estas são subvariedades mínimas Kählerianas, com a estrutura euclidiana em C². Tal obsevação motiva uma série de questões relacionadas à interligação entre as técnicas usuais da Teoria das Superfícies Mínimas e as técnicas modernas de Sistemas Dinâmicos Complexos e Várias Variáveis Complexas.

O estudo das ações de grupos de Lie complexos tem sido objeto de estudo também de dinamicistas. M. Suzuki estudou ações holomorfas de C em espaços de Stein de dimensão 2. Tais fluxos holomorfos possuem várias propriedades notáveis tais como órbitas genéricas, e são analíticamente linearizáveis no caso em que a órbita genérica é proveniente de um período no fluxo. O estudo de ações do grupo aditivo Cⁿ em variedades de Stein de dimensão n+1 é uma generalização natural do trabalho de Suzuki, mas com diferenças que ficam claras já nas questões mais básicas. Um problema interessante é o de se estudar tais ações localmente livres e que sejam tangentes a folheações algébricas em Cⁿ⁺¹ que se estendem portanto de modo natural a folheações do espaço projectivo CP(n+1).

Problema. Seja F uma folheação algébrica de codimensão k no espaço complexo de n variáveis onde n ³ 2. Suponha que as folhas de F têm geometria limitada (e.g., crescimento sub-exponencial ou curvatura holomorfa seccional total finita) em CP(n). Classificar F em condições genéricas nas suas singularidades.

Problema: (1) Qual seria uma versão do Teorema de Novikov sobre a existência de folha compacta, para folheações complexas? Tal questão nos remete à seguinte: (2) Qual seria uma versão do Teorema de Haefliger para o caso de folheações holomorfas de codimensão 1?

O estudo das equações diferenciais complexas foi iniciado de maneira sistemática por P. Painlevé no fim do século XIX. Foi com Painlevé que o estudo das equações diferenciais racionais da forma , onde P e Q são polinômios complexos, ganhou métodos próprios e diferenciados, utilizando de forma mais forte o caráter holomorfo das soluções locais. Pode-se dizer, no entanto, que vários outros autores contribuiram de maneira decisiva para a teoria no seu início, tais como E. Picard, G. Darboux, H. Poincaré, Briot e Bouquet, G. D. Birkhoff e outros.

Equações diferenciais complexas surgem em várias áreas da Matemática e das Ciência Naturais de um modo geral. Para citar alguns exemplos, lembramos dos circuitos elétricos e das equações diferenciais complexas que os regem. Lembramos também da Teoria de Iteração da Funções Racionais na esfera de Riemann, que está ligada ao estudo de certas equações diferenciais complexas racionais e dos seus conjuntos limites. Outra classe de exemplos bastante interessante é dada pela Teoria das ações de grupos de Lie complexos sobre uma variedade holomorfa. Outra motivação para o estudo das equações diferenciais complexas é a busca de novas funções transcendentes, como é o caso do logarítmo complexo, etc... Finalmente observamos que uma equação diferencial analítica real (por exemplo dada por um campo de vetores real polinomial) induz naturalmente uma equação diferencial complexa, cuja compreensão em muitos casos pode ser a responsável pela compreensão da equação real original.

Foi com o advento da Teoria das Folheações e com o desenvolvimento da Topologia Diferencial e da Teoria das Várias Variáveis Complexas (notadamente os trabalhos de Hartogs, Levi, Stein, Cartan e Hormander), que as equações diferenciais complexas (agora tratadas como folheações holomorfas) foram redescobertas e puderam ser uma vez mais estudadas com vigor. Nas últimas décadas houve um desenvolvimento acentuado deste estudo e um incremento considerável da compreensão das semelhanças e diferenças com o caso real, assim como várias questões (algumas das quais sem resposta por vários anos) foram respondidas. Restam todavia muitas questões a serem devidamente esclarecidas e uma parte substancial da teoria permanece praticamente intocada.

Maiores Informações:

Bruno César Azevedo Scárdua

Instituto de Matemática - UFRJ

Ilha do Fundão

Caixa Postal 68530

21945-970 - Rio de Janeiro - RJ

Tel: (0xx21) 2562-7411

e-mail: scardua@im.ufrj.br